Bilan : Synthèse et méthode sur le développement et les identités remarquables

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ; (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ; (a + b)(a - b) = a^2 - b^2. • Deux parenthèses aux termes différents : double distributivité, quatre produits. • Un bloc précédé de - se développe entre crochets, puis tous ses signes changent. • Un carré donne trois termes ; une somme fois une différence en donne deux.

Le cours

Les trois identités remarquables Forme produit Forme développée Termes (a + b)^2a^2 + 2ab + b^23 (a - b)^2a^2 - 2ab + b^23 (a + b)(a - b)a^2 - b^22 De gauche à droite, on développe : un produit devient une somme. De droite à gauche, on factorise : une somme devient un produit, ce que l'on travaille dans le chapitre sur la factorisation. Choisir l'outil pour développer Un nombre ou une expression devant une parenthèse : distributivité simple, k(a + b) = ka + kb. Le carré d'une somme ou d'une différence : première ou deuxième identité. La somme et la différence des deux mêmes termes : troisième identité. Deux parenthèses aux termes différents : double distributivité, quatre produits. Rédiger un développement Développer bloc par bloc, en gardant des crochets autour d'un produit précédé d'un signe -. Calculer le carré avant de multiplier : 3(x + 1)^2 = 3(x^2 + 2x + 1). Réduire, puis ordonner selon les puissances décroissantes de x. Contrôler avec une valeur simple de x, dans l'expression de départ et dans le résultat. Quelle forme utiliser ? Une même expression peut s'écrire sous plusieurs formes égales ; on choisit la plus pratique. La forme développée et réduite sert à calculer une valeur en x = 0 ou à comparer deux expressions. La forme produit montre quand l'expression s'annule : (x - 2)(x + 7) vaut 0 pour x = 2, ce qui se voit immédiatement. Les erreurs à éviter (a + b)^2 a^2 + b^2 : il manque le double produit. (3x)^2 = 9x^2, et non 3x^2. (a - b)^2 se termine par +b^2. -(x^2 - 5x + 6) = -x^2 + 5x - 6 : tous les signes changent.

Dans ce chapitre

• Simple et double distributivité de 4ème
• Calculer la valeur d'une expression littérale pour des valeurs numériques de 5ème
• Carré d'un produit et distinction entre (-a)^2 et -a^2 de 4ème
• Première identité remarquable : (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
• Deuxième identité remarquable : (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
• Programmes de calcul et preuves algébriques
• Troisième identité remarquable : (a + b)(a - b) = a^2 - b^2
• Développements d'expressions complexes avec réductions
• Applications au calcul mental rapide
• Interprétation géométrique du développement et des identités remarquables par les aires — 3ème
• Développement de produits de trois facteurs ou d'expressions imbriquées — 3ème
• Exprimer une aire ou un périmètre sous forme développée et réduite en fonction de x — 3ème
• Identités remarquables avec fractions ou opposés : (-a+b)^2 et carrés rationnels — 3ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur le développement et les identités remarquables