Première identité remarquable : (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 : carré du premier, double produit, carré du second. • Le développement a toujours trois termes ; celui du milieu, 2ab, est le double produit. • Tout le premier terme se met au carré : (3x)^2 = 9x^2, et non 3x^2.

Le cours

Le carré d'une somme Pour tous nombres a et b : (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 On lit : le carré du premier terme, plus le double du produit des deux termes, plus le carré du second. Le terme 2ab s'appelle le double produit. Le résultat compte toujours trois termes. D'où vient la formule ? Un carré est le produit de deux facteurs égaux ; on applique la double distributivité : (a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2. Les deux produits croisés ab et ba sont égaux : ensemble, ils forment le double produit. La figure le montre : un carré de côté a + b se découpe en un carré d'aire a^2, un carré d'aire b^2 et deux rectangles d'aire ab. a² ab ab b² a b a b Méthode Repérer les deux termes : dans (2x + 7)^2, a = 2x et b = 7. Mettre tout le premier terme au carré : (2x)^2 = 2^2 x^2 = 4x^2. Calculer le double produit : 2 2x 7 = 28x. Calculer b^2 = 49 et écrire la somme des trois termes : (2x + 7)^2 = 4x^2 + 28x + 49. Retrouver un terme manquant Le double produit permet de compléter une égalité : si (x + b)^2 = x^2 + 10x + , alors 2 x b = 10x, donc b = 5, et le terme manquant est b^2 = 25. Attention : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés (3 + 4)^2 = 7^2 = 49, alors que 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25. L'écart, 24, est exactement le double produit 2 3 4. De même, (x + 10)^2 = x^2 + 20x + 100, et jamais x^2 + 100.

Dans ce chapitre

• Simple et double distributivité de 4ème
• Calculer la valeur d'une expression littérale pour des valeurs numériques de 5ème
• Carré d'un produit et distinction entre (-a)^2 et -a^2 de 4ème
• Première identité remarquable : (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
• Deuxième identité remarquable : (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
• Programmes de calcul et preuves algébriques
• Troisième identité remarquable : (a + b)(a - b) = a^2 - b^2
• Développements d'expressions complexes avec réductions
• Applications au calcul mental rapide
• Interprétation géométrique du développement et des identités remarquables par les aires — 3ème
• Développement de produits de trois facteurs ou d'expressions imbriquées — 3ème
• Exprimer une aire ou un périmètre sous forme développée et réduite en fonction de x — 3ème
• Identités remarquables avec fractions ou opposés : (-a+b)^2 et carrés rationnels — 3ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur le développement et les identités remarquables