Programmes de calcul et preuves algébriques

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Modéliser : appeler x le nombre de départ et traduire chaque étape ; « ajouter 5 puis multiplier par 2 » donne 2(x + 5). • Des essais permettent de conjecturer ; seul un calcul avec la lettre prouve qu'un résultat est toujours vrai. • Un seul contre-exemple suffit pour prouver qu'une affirmation est fausse. • Pair : 2n ; impair : 2n + 1 ; entiers consécutifs : n et n + 1.

Le cours

💻 Modéliser un programme de calcul Pour étudier un programme de calcul pour n'importe quel nombre de départ, on appelle ce nombre x et on traduit chaque étape par une expression, en gardant des parenthèses dès qu'une opération porte sur tout le résultat précédent. Choisir un nombre : x. Lui ajouter 3 : x + 3. Élever le résultat au carré : (x + 3)^2. Soustraire le carré du nombre de départ : (x + 3)^2 - x^2. On développe et on réduit : (x + 3)^2 - x^2 = x^2 + 6x + 9 - x^2 = 6x + 9. Ce programme revient donc à « multiplier par 6, puis ajouter 9 ». 🎯 Essayer n'est pas prouver Des essais numériques servent à conjecturer : avec 1, 2 et 5, le programme ci-dessus donne 15, 21 et 39, trois multiples de 3. Pour prouver que c'est toujours le cas pour un entier, il faut un calcul avec la lettre : 6x + 9 = 3(2x + 3), et si x est un entier, 2x + 3 est un entier, donc le résultat est un multiple de 3. À l'inverse, pour prouver qu'une affirmation est fausse, un seul contre-exemple suffit. 🔢 Écrire des nombres entiers avec une lettre Un entier quelconque : n ; l'entier suivant : n + 1 ; l'entier précédent : n - 1. Un nombre pair : 2n ; un nombre impair : 2n + 1. Un multiple de k : k m, avec m entier. Par exemple, 3(2x + 3) est un multiple de 3 dès que 2x + 3 est un entier. ✍️ Rédiger la preuve « Soit x le nombre choisi au départ. Le programme donne l'expression En développant et en réduisant, on obtient Donc, pour tout nombre x, le résultat est » La dernière phrase répond toujours à la question posée.

Dans ce chapitre

• Simple et double distributivité de 4ème
• Calculer la valeur d'une expression littérale pour des valeurs numériques de 5ème
• Carré d'un produit et distinction entre (-a)^2 et -a^2 de 4ème
• Première identité remarquable : (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
• Deuxième identité remarquable : (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
• Programmes de calcul et preuves algébriques
• Troisième identité remarquable : (a + b)(a - b) = a^2 - b^2
• Développements d'expressions complexes avec réductions
• Applications au calcul mental rapide
• Interprétation géométrique du développement et des identités remarquables par les aires — 3ème
• Développement de produits de trois facteurs ou d'expressions imbriquées — 3ème
• Exprimer une aire ou un périmètre sous forme développée et réduite en fonction de x — 3ème
• Identités remarquables avec fractions ou opposés : (-a+b)^2 et carrés rationnels — 3ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur le développement et les identités remarquables