Développements d'expressions complexes avec réductions

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Développer chaque bloc séparément, entre parenthèses ou crochets. • Un signe - devant un bloc change le signe de chacun de ses termes : -(x^2 - 2x + 1) = -x^2 + 2x - 1. • Le carré passe avant la multiplication : 2(x + 1)^2 = 2(x^2 + 2x + 1). • Réduire en regroupant les termes en x^2, en x et les constantes.

Le cours

Repérer les blocs Une expression comme E = 2(x + 1)^2 - (x + 4)(x - 4) + 5x est une somme de blocs, séparés par les signes + ou - placés hors des parenthèses. Chaque bloc se développe avec l'outil adapté : un carré (a + b)^2 ou (a - b)^2 : première ou deuxième identité ; un produit (a + b)(a - b) : troisième identité ; deux parenthèses aux termes différents : double distributivité ; un nombre devant une parenthèse : distributivité simple. Les priorités s'appliquent Dans 2(x + 1)^2, le carré est prioritaire sur la multiplication : on développe d'abord (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1, puis on multiplie par 2, ce qui donne 2x^2 + 4x + 2. On ne fait jamais entrer le 2 dans le carré. Méthode sur l'exemple Bloc 1 : 2(x + 1)^2 = 2(x^2 + 2x + 1) = 2x^2 + 4x + 2. Bloc 2, précédé d'un signe - : on le développe entre crochets, -[(x + 4)(x - 4)] = -[x^2 - 16] = -x^2 + 16. Bloc 3 : 5x reste tel quel. On regroupe et on réduit : E = 2x^2 - x^2 + 4x + 5x + 2 + 16 = x^2 + 9x + 18. Rédiger proprement Une ligne par étape, des crochets dès qu'un signe - précède un produit, et les termes semblables soulignés de la même couleur au brouillon : c'est ainsi qu'on évite les erreurs de signe. Pour finir, on ordonne le résultat selon les puissances décroissantes de x. Attention Le signe - devant un bloc porte sur tous les termes obtenus : -(x - 1)^2 = -(x^2 - 2x + 1) = -x^2 + 2x - 1. Oublier de changer le signe du -2x ou du +1 est l'erreur la plus fréquente.

Dans ce chapitre

• Simple et double distributivité de 4ème
• Calculer la valeur d'une expression littérale pour des valeurs numériques de 5ème
• Carré d'un produit et distinction entre (-a)^2 et -a^2 de 4ème
• Première identité remarquable : (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
• Deuxième identité remarquable : (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
• Programmes de calcul et preuves algébriques
• Troisième identité remarquable : (a + b)(a - b) = a^2 - b^2
• Développements d'expressions complexes avec réductions
• Applications au calcul mental rapide
• Interprétation géométrique du développement et des identités remarquables par les aires — 3ème
• Développement de produits de trois facteurs ou d'expressions imbriquées — 3ème
• Exprimer une aire ou un périmètre sous forme développée et réduite en fonction de x — 3ème
• Identités remarquables avec fractions ou opposés : (-a+b)^2 et carrés rationnels — 3ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur le développement et les identités remarquables