Identités remarquables avec fractions ou opposés : (-a+b)^2 et carrés rationnels — 3ème

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• (-a + b)^2 = (b - a)^2 = a^2 - 2ab + b^2. • (-a - b)^2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. • Avec des fractions : (a/b)^2 = a^2/b^2, et le double produit se simplifie souvent avant calcul.

Le cours

1. Carré d'une somme avec terme opposé : (-a + b)^2 Lorsque le premier terme d'une somme est négatif, comme (-a + b)^2, il existe deux méthodes équivalentes et rigoureuses pour développer : • Méthode 1 : Réordonner les termes dans la parenthèse pour faire apparaître la deuxième identité remarquable : (-a + b)^2 = (b - a)^2 = b^2 - 2ab + a^2 = a^2 - 2ab + b^2. • Méthode 2 : Appliquer la règle des signes directement : (-a)^2 + 2 (-a) b + b^2 = a^2 - 2ab + b^2. Cas particulier fondamental : (-a - b)^2 = [-(a + b)]^2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. 2. Identités remarquables avec des coefficients fractionnaires Lorsque les coefficients sont des fractions, on applique les identités remarquables en respectant scrupuleusement les règles sur les fractions : • Le carré d'une fraction s'obtient en élevant le numérateur et le dénominateur au carré : (x/3)^2 = x^2/9. • Le double produit se calcule en multipliant les numérateurs entre eux : 2 x/3 4 = 8x/3. 3. Erreurs classiques de calcul Attention à ne pas oublier de mettre au carré le dénominateur : (x/2)^2 = x^2/4 et non x^2/2. De plus, dans un double produit comme 2 x/2 5, le facteur 2 se simplifie directement avec le dénominateur 2, donnant 5x.

Dans ce chapitre

• Simple et double distributivité de 4ème
• Calculer la valeur d'une expression littérale pour des valeurs numériques de 5ème
• Carré d'un produit et distinction entre (-a)^2 et -a^2 de 4ème
• Première identité remarquable : (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
• Deuxième identité remarquable : (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
• Programmes de calcul et preuves algébriques
• Troisième identité remarquable : (a + b)(a - b) = a^2 - b^2
• Développements d'expressions complexes avec réductions
• Applications au calcul mental rapide
• Interprétation géométrique du développement et des identités remarquables par les aires — 3ème
• Développement de produits de trois facteurs ou d'expressions imbriquées — 3ème
• Exprimer une aire ou un périmètre sous forme développée et réduite en fonction de x — 3ème
• Identités remarquables avec fractions ou opposés : (-a+b)^2 et carrés rationnels — 3ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur le développement et les identités remarquables