Deuxième identité remarquable : (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. • Seul le double produit est précédé de - ; a^2 et b^2 sont toujours ajoutés. • (b - a)^2 = (a - b)^2 : par exemple (5 - x)^2 = x^2 - 10x + 25.

Le cours

Le carré d'une différence Pour tous nombres a et b : (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 Seul le double produit est soustrait ; les deux carrés a^2 et b^2 sont toujours ajoutés. Comme pour le carré d'une somme, le résultat compte trois termes. Démonstration et lien avec la première identité Par double distributivité : (a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2. Le dernier produit est positif, car (-b) (-b) = b^2. On peut aussi écrire a - b = a + (-b) et appliquer la première identité : a^2 + 2 a (-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. L'ordre des termes ne change pas le carré Deux nombres opposés ont le même carré, donc (b - a)^2 = (a - b)^2. Ainsi (5 - x)^2 = 25 - 10x + x^2 = x^2 - 10x + 25, exactement comme (x - 5)^2. De même, (-x - 4)^2 = (x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16. Méthode Repérer a (le terme avant le signe -) et b (le terme après) : dans (6x - 1)^2, a = 6x et b = 1. Calculer a^2 : (6x)^2 = 36x^2. Calculer le double produit et le soustraire : 2 6x 1 = 12x, on écrit -12x. Ajouter b^2 = 1 : (6x - 1)^2 = 36x^2 - 12x + 1. Attention aux signes Le carré d'une différence n'est pas la différence des carrés : (10 - 3)^2 = 7^2 = 49, alors que 10^2 - 3^2 = 91. Et le dernier terme est toujours positif : (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4, jamais x^2 - 4x - 4.

Dans ce chapitre

• Simple et double distributivité de 4ème
• Calculer la valeur d'une expression littérale pour des valeurs numériques de 5ème
• Carré d'un produit et distinction entre (-a)^2 et -a^2 de 4ème
• Première identité remarquable : (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
• Deuxième identité remarquable : (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
• Programmes de calcul et preuves algébriques
• Troisième identité remarquable : (a + b)(a - b) = a^2 - b^2
• Développements d'expressions complexes avec réductions
• Applications au calcul mental rapide
• Interprétation géométrique du développement et des identités remarquables par les aires — 3ème
• Développement de produits de trois facteurs ou d'expressions imbriquées — 3ème
• Exprimer une aire ou un périmètre sous forme développée et réduite en fonction de x — 3ème
• Identités remarquables avec fractions ou opposés : (-a+b)^2 et carrés rationnels — 3ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur le développement et les identités remarquables