Développement de produits de trois facteurs ou d'expressions imbriquées — 3ème

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Pour développer un produit de 3 facteurs, on développe d'abord deux facteurs, on réduit, puis on multiplie par le troisième. • Dans k(a+b)(c+d), on multiplie k par le premier bloc OU on développe (a+b)(c+d) puis on multiplie par k. • Réduire toujours l'intérieur des crochets avant de développer avec le facteur externe.

Le cours

1. Règle d'associativité pour un produit de trois facteurs Pour développer un produit constitué de trois facteurs comme (x + a)(x + b)(x + c), la multiplication étant associative, on ne peut pas tout développer en une seule fois. On procède par étapes successives : 1. On développe d'abord le produit des deux premiers facteurs entre crochets. 2. On réduit l'expression obtenue à l'intérieur des crochets. 3. On développe le résultat obtenu avec le troisième facteur par double distributivité. 4. On effectue la réduction finale ordonnée selon les puissances décroissantes de x. 2. Expressions avec crochets et distributivité imbriquée Lorsque des parenthèses sont imbriquées dans des crochets, comme A = 2x[3x - (x - 4)^2], on applique la règle des priorités opératoires : • Développer d'abord l'identité remarquable ou la parenthèse intérieure : (x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16. • Supprimer les parenthèses intérieures en changeant les signes si elles sont précédées d'un signe moins : -(x^2 - 8x + 16) = -x^2 + 8x - 16. • Réduire l'intérieur du crochet avant de distribuer le terme extérieur. 3. Erreur fréquente à éviter Ne distribuez jamais le même facteur à la fois sur le deuxième et sur le troisième facteur : dans 2(x + 1)(x + 3), le nombre 2 ne multiplie qu'un seul des deux blocs ! Écrire (2x + 2)(2x + 6) est faux car cela revient à multiplier par 4 et non par 2.

Dans ce chapitre

• Simple et double distributivité de 4ème
• Calculer la valeur d'une expression littérale pour des valeurs numériques de 5ème
• Carré d'un produit et distinction entre (-a)^2 et -a^2 de 4ème
• Première identité remarquable : (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
• Deuxième identité remarquable : (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
• Programmes de calcul et preuves algébriques
• Troisième identité remarquable : (a + b)(a - b) = a^2 - b^2
• Développements d'expressions complexes avec réductions
• Applications au calcul mental rapide
• Interprétation géométrique du développement et des identités remarquables par les aires — 3ème
• Développement de produits de trois facteurs ou d'expressions imbriquées — 3ème
• Exprimer une aire ou un périmètre sous forme développée et réduite en fonction de x — 3ème
• Identités remarquables avec fractions ou opposés : (-a+b)^2 et carrés rationnels — 3ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur le développement et les identités remarquables