Troisième identité remarquable : (a + b)(a - b) = a^2 - b^2

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 : somme fois différence des deux mêmes termes. • Le résultat n'a que deux termes : les produits croisés -ab et +ab s'annulent. • a garde son signe dans les deux parenthèses ; b change de signe et son carré est soustrait.

Le cours

Produit d'une somme par une différence Pour tous nombres a et b : (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 Le produit de la somme de deux termes par leur différence est égal à la différence de leurs carrés. L'ordre des facteurs ne compte pas : (a - b)(a + b) = a^2 - b^2. Pourquoi n'y a-t-il que deux termes ? Par double distributivité : (a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2. Les produits croisés -ab et +ba sont opposés : ils s'annulent et il reste a^2 - b^2. C'est la seule des trois identités remarquables sans double produit. Bien repérer a et b Les deux parenthèses contiennent les mêmes termes. Le terme qui garde son signe dans les deux parenthèses est a ; celui qui change de signe est b, et c'est son carré que l'on soustrait. (x + 9)(x - 9) : a = x et b = 9, donc le produit vaut x^2 - 81. (7 + x)(7 - x) : a = 7 et b = x, donc le produit vaut 49 - x^2. (3x + 2)(2 - 3x) : c'est 2 qui garde son signe, donc a = 2, b = 3x et le produit vaut 4 - 9x^2. Méthode Vérifier que les deux parenthèses contiennent les mêmes termes, avec un seul changement de signe. Repérer a et b. Écrire directement a^2 - b^2 en mettant chaque terme entier au carré : (6x)^2 = 36x^2. Ordonner le résultat. Attention Si les deux parenthèses ne contiennent pas les mêmes nombres, ce n'est pas une identité remarquable : (x + 2)(x - 6) se développe par double distributivité, x^2 - 6x + 2x - 12 = x^2 - 4x - 12.

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