Applications au calcul mental rapide

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• (100 + b)^2 = 10\,000 + 200b + b^2 : par exemple 104^2 = 10\,816. • (100 - b)^2 = 10\,000 - 200b + b^2 : par exemple 97^2 = 9\,409. • (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 : par exemple 38 42 = 1\,600 - 4 = 1\,596.

Le cours

Trois outils de calcul mental Carré d'un nombre un peu au-dessus d'un nombre rond, avec (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 : 21^2 = 400 + 40 + 1 = 441. Carré d'un nombre un peu en dessous, avec (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 : 39^2 = 1\,600 - 80 + 1 = 1\,521. Produit de deux nombres à égale distance d'un nombre rond, avec (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 : 19 21 = 400 - 1 = 399. Méthode Choisir le pivot : le nombre rond le plus proche (10, 50, 100, 1\,000…) pour un carré, le milieu des deux facteurs pour un produit. Écrire le calcul sous la forme d'une identité : 72^2 = (70 + 2)^2 ; 48 52 = (50 - 2)(50 + 2). Calculer de tête chaque terme : 4\,900 + 280 + 4 = 5\,184 ; 2\,500 - 4 = 2\,496. Vérifier le chiffre des unités et l'ordre de grandeur du résultat. Avec des nombres décimaux Les mêmes formules fonctionnent avec des décimaux : 2,1^2 = (2 + 0,1)^2 = 4 + 0,4 + 0,01 = 4,41, et 9,9^2 = (10 - 0,1)^2 = 100 - 2 + 0,01 = 98,01. Le carré de l'écart, ici 0,01, est très petit, mais il ne faut pas l'oublier. Attention Pour un produit, le pivot doit être exactement au milieu : 47 53 = (50 - 3)(50 + 3) = 2\,500 - 9 = 2\,491. Si les deux facteurs ne sont pas à égale distance d'un nombre rond, comme dans 47 52, la troisième identité ne s'applique pas ; on revient à la distributivité : 47 52 = 47 50 + 47 2 = 2\,350 + 94 = 2\,444.

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