Équations avec écritures fractionnaires et égalité des produits en croix — 3ème

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• A/B = C/D A D = B C (égalité des produits en croix). • Mettre toujours des parenthèses autour des numérateurs composés : (ax+b) d = c (ex+f). • Développer puis regrouper les termes en x d'un côté et les nombres de l'autre.

Le cours

1. Égalité des produits en croix Lorsque deux fractions sont égales, leurs produits en croix sont égaux. Pour tous nombres a, b, c, d avec b 0 et d 0 : a/b = c/d a d = b c Cette propriété fondamentale permet de transformer instantanément une équation fractionnaire en une équation sans dénominateur. 2. Résolution avec expressions littérales Lorsque le numérateur contient une somme ou une différence algébrique, on doit impérativement ajouter des parenthèses autour de l'expression entière avant d'appliquer le produit en croix : Pour résoudre 2x - 3/5 = x + 1/4 : 4 (2x - 3) = 5 (x + 1) On développe ensuite par simple distributivité des deux côtés : 8x - 12 = 5x + 5. Si l'équation comporte une somme de fractions avec un membre entier, on peut également multiplier tous les termes par un dénominateur commun non nul. 3. Erreur fréquente d'oubli de parenthèses L'erreur la plus courante est d'écrire 4 2x - 3 au lieu de 4(2x - 3). Le coefficient multiplicateur doit être distribué sur tous les termes du numérateur, et pas seulement sur le premier terme.

Dans ce chapitre

• Résolution d'équations du premier degré de 4ème
• Tester si un nombre est solution d'une équation par substitution de 4ème
• Racine carrée d'un nombre positif et carrés parfaits de 4ème
• Propriété du produit-nul
• Résolution d'équations produit-nul de la forme (ax+b)(cx+d) = 0
• Factoriser pour se ramener à une équation produit-nul
• Équations du type x^2 = a
• Modélisation géométrique et problèmes de type Brevet
• Équations se ramenant au premier degré après développement où les termes en x^2 s'annulent — 3ème
• Équations avec écritures fractionnaires et égalité des produits en croix — 3ème
• Nombre de solutions d'une équation du premier degré : unique, aucune ou infinité — 3ème
• Mise en équation et résolution de problèmes concrets : âges et partages — 3ème
• Équations produit-nul à trois facteurs ou de degré 3 simples factorisables — 3ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations produit-nul