Résolution d'équations produit-nul de la forme (ax+b)(cx+d) = 0

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• (ax + b)(cx + d) = 0 équivaut à ax + b = 0 ou cx + d = 0. • Solutions : x = -b/a et x = -d/c, données sous forme exacte. • Deux solutions en général, une seule si les deux facteurs s'annulent pour la même valeur. • On ne développe jamais une équation déjà factorisée.

Le cours

Notion de 3ème Une fois la propriété du produit nul connue, il reste à rédiger proprement et à calculer chaque solution sous forme exacte : c'est l'exercice d'équation le plus fréquent en 3ème. Ce qu'il faut savoir Avec a 0 et c 0, l'équation (ax + b)(cx + d) = 0 équivaut à ax + b = 0 ou cx + d = 0 : deux équations du premier degré. Chaque facteur fournit une solution, le nombre qui l'annule : ax + b = 0 donne x = -b/a et cx + d = 0 donne x = -d/c. L'équation a donc deux solutions, ou une seule si les deux facteurs s'annulent pour la même valeur : (2x - 6)(x - 3) = 0 n'a que la solution 3, et (3x + 1)^2 = 0 n'a que la solution -1/3. On donne les solutions sous forme exacte : entier, décimal ou fraction irréductible. -2/7 ne s'écrit pas -0,28, car son écriture décimale ne s'arrête pas. On peut les regrouper dans l'ensemble des solutions, rangées dans l'ordre croissant : S = \-5/2 \,;\, 4/3\. (ax + b)(cx + d) = 0 donne x = -b/a \ ou \ x = -d/c Rédaction modèle : (3x - 4)(2x + 5) = 0 1. « Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. » 2. 3x - 4 = 0 ou 2x + 5 = 0 3. 3x = 4 ou 2x = -5 4. x = 4/3 ou x = -5/2 5. « L'équation a deux solutions : -5/2 et 4/3. » Ne développe pas Développer une équation déjà factorisée la rend impossible à résoudre en 3ème : (2x - 3)(x + 4) = 0 deviendrait 2x^2 + 5x - 12 = 0. La forme factorisée est justement celle qui permet de conclure. Lire les solutions Quand le coefficient de x vaut 1, la solution est l'opposé de la constante : x - 4 s'annule pour 4 et x + 9 pour -9. Dès que le coefficient est différent de 1, on divise : 7x + 2 = 0 donne x = -2/7.

Dans ce chapitre