Équations produit-nul à trois facteurs ou de degré 3 simples factorisables — 3ème

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• A B C = 0 A = 0 ou B = 0 ou C = 0. • Pour résoudre x^3 - a^2 x = 0, on factorise d'abord par x, puis par a^2 - b^2 : x(x-a)(x+a) = 0. • Ne jamais diviser par x, toujours factoriser pour conserver la solution x = 0.

Le cours

1. Généralisation de la règle du produit-nul à trois facteurs La propriété du produit-nul s'applique à un nombre quelconque de facteurs : un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un des facteurs est nul. A B C = 0 A = 0 ou B = 0 ou C = 0 Une équation comportant un produit de trois facteurs du premier degré admet donc généralement jusqu'à trois solutions réelles distinctes. 2. Équations de degré 3 se factorisant par x Au collège, une équation comportant des puissances x^3 ou x^2 sans terme constant se résout toujours en factorisant par x : Exemple : résoudre x^3 - 16x = 0. 1. On factorise par le facteur commun x : x(x^2 - 16) = 0. 2. On factorise la parenthèse avec la troisième identité remarquable a^2 - b^2 : x(x - 4)(x + 4) = 0. 3. On applique la règle du produit-nul : x = 0, x = 4 ou x = -4. L'équation possède trois solutions distinctes. 3. Erreur fréquente fatale Ne jamais simplifier ou diviser une équation par x : dans x^2 = 5x, si vous divisez par x, vous obtenez x = 5 et vous perdez la solution fondamentale x = 0 ! La seule méthode valide est de tout regrouper dans un membre : x^2 - 5x = 0 x(x - 5) = 0.

Dans ce chapitre