Factoriser pour se ramener à une équation produit-nul

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Équation avec x^2 : on ramène tout à « = 0 », on factorise, puis on applique le produit nul. • Outils : facteur commun ka + kb = k(a + b) et différence de carrés a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). • On ne divise jamais par x, ni par une expression contenant x.

Le cours

Notion de 3ème Une équation où apparaît x^2 n'est pas du premier degré. En 3ème, on la résout en la transformant en équation produit nul : on rassemble tout dans un membre, puis on factorise. Ce qu'il faut savoir Première étape obligatoire : obtenir 0 dans un membre, en soustrayant le second membre aux deux membres. Facteur commun simple : 3x^2 + 12x = 3x x + 3x 4 = 3x(x + 4). Facteur commun entre parenthèses : (x - 1)(2x + 3) + (x - 1)(x - 5) = (x - 1)[(2x + 3) + (x - 5)] = (x - 1)(3x - 2). Différence de deux carrés : a^2 - b^2 = (a - b)(a + b), par exemple 9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5). On n'a jamais le droit de diviser les deux membres par x, ni par une expression contenant x : elle peut valoir 0, et l'on perdrait une solution. ka + kb = k(a + b) a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) Méthode 1. Tout ramener dans le premier membre pour obtenir « = 0 ». 2. Chercher un facteur commun ; sinon, reconnaître une différence de deux carrés. 3. Écrire le produit et réduire chaque facteur, en changeant tous les signes après un « - » placé devant un crochet. 4. Appliquer la propriété du produit nul, puis vérifier chaque solution dans l'équation de départ. Exemple commenté On résout x^2 = 5x. On écrit x^2 - 5x = 0, puis on factorise par x : x(x - 5) = 0. Donc x = 0 ou x = 5. En divisant par x, on n'aurait trouvé que 5. Attention aux crochets Le signe « - » devant un crochet change le signe de chaque terme : (2x + 1) - (x - 3) = 2x + 1 - x + 3 = x + 4, et non x - 2. Si aucun outil ne marche Quand l'expression n'a ni facteur commun ni forme a^2 - b^2, l'énoncé donne en général la forme factorisée. On la vérifie en la développant, puis on résout l'équation produit nul obtenue.

Dans ce chapitre

• Résolution d'équations du premier degré de 4ème
• Tester si un nombre est solution d'une équation par substitution de 4ème
• Racine carrée d'un nombre positif et carrés parfaits de 4ème
• Propriété du produit-nul
• Résolution d'équations produit-nul de la forme (ax+b)(cx+d) = 0
• Factoriser pour se ramener à une équation produit-nul
• Équations du type x^2 = a
• Modélisation géométrique et problèmes de type Brevet
• Équations se ramenant au premier degré après développement où les termes en x^2 s'annulent — 3ème
• Équations avec écritures fractionnaires et égalité des produits en croix — 3ème
• Nombre de solutions d'une équation du premier degré : unique, aucune ou infinité — 3ème
• Mise en équation et résolution de problèmes concrets : âges et partages — 3ème
• Équations produit-nul à trois facteurs ou de degré 3 simples factorisables — 3ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations produit-nul