Bilan : Synthèse et méthode sur les équations produit-nul

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Premier degré : on réduit à ax = b, puis x = b/a si a 0. • Avec un x^2 : « = 0 », factoriser, puis A B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0. • x^2 = a : a et -a si a > 0 ; 0 si a = 0 ; aucune solution si a < 0. • On vérifie chaque solution dans l'équation de départ et dans le contexte.

Le cours

Bilan de 3ème Ce bilan rassemble les méthodes du chapitre. Devant une équation, la première question à se poser est : y a-t-il un x^2, ou un produit de deux expressions contenant x ? Les quatre types d'équations Premier degré, ax + b = cx + d : on regroupe et on réduit à ax = b ; une seule solution si a 0. Produit nul, (ax + b)(cx + d) = 0 : deux équations du premier degré ; deux solutions, ou une seule si elles coïncident. x^2 = a : deux solutions a et -a si a > 0 ; une seule, 0, si a = 0 ; aucune si a Autre équation avec x^2 : ramener à « = 0 », factoriser (facteur commun ou a^2 - b^2), puis appliquer le produit nul. A B = 0 si et seulement si A = 0 \ ou \ B = 0 Choisir la méthode 1. Si les deux membres contiennent le même x^2, développer : il s'élimine. Par exemple, (x + 1)^2 = x^2 + 7 devient 2x + 1 = 7, donc x = 3. 2. S'il reste un x^2, tout ramener dans un membre pour obtenir « = 0 ». 3. Si l'on obtient « x^2 = nombre », conclure avec les trois cas ; sinon, factoriser et appliquer le produit nul. 4. Vérifier chaque solution dans l'équation de départ et, dans un problème, ne garder que celles qui ont un sens. Choisir la bonne forme d'une expression Quand une expression est donnée sous plusieurs formes, on choisit celle qui rend l'équation facile : la forme factorisée pour résoudre « expression = 0 », la forme développée quand les termes constants s'éliminent, la forme « carré » pour se ramener à A^2 = a. Les erreurs qui coûtent cher Diviser par x (on perd la solution 0) ; oublier -a ; appliquer le produit nul alors que l'autre membre n'est pas 0 ; développer une équation déjà factorisée ; garder une longueur négative. Combien de solutions attendre ? Premier degré : une (sauf cas particuliers). Produit de deux facteurs du premier degré : deux au plus. x^2 = a : deux, une ou aucune selon le signe de a.

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