Nombre de solutions d'une équation du premier degré : unique, aucune ou infinité — 3ème

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À retenir

• Forme ax = b : - Si a 0 : solution unique x = b/a. - Si a = 0 et b 0 (0x = b) : aucune solution (impossible). - Si a = 0 et b = 0 (0x = 0) : une infinité de solutions (tout nombre est solution).

Le cours

1. Forme générale réduite ax = b Toute équation du premier degré à une inconnue peut, après développement, regroupement et réduction de tous les termes, se ramener à une équation équivalente élémentaire de la forme : ax = b où a et b sont deux nombres réels fixes. 2. Les trois cas possibles de résolution Le nombre de solutions dépend uniquement des valeurs des coefficients a et b : • Cas 1 (a 0) : Solution unique. On peut diviser par a. L'équation admet exactement une solution : x = b/a. C'est la situation la plus fréquente. • Cas 2 (a = 0 et b 0) : Aucune solution. L'équation s'écrit 0x = b. Or, pour n'importe quel nombre x, 0 x = 0. Comme 0 b, cette égalité est impossible. L'ensemble des solutions est vide (noté ). • Cas 3 (a = 0 et b = 0) : Infinité de solutions. L'équation s'écrit 0x = 0. Cette égalité est toujours vérifiée quel que soit le nombre réel x. L'équation est en réalité une identité vraie pour tout nombre. 3. Erreur fréquente Ne jamais diviser par 0 : si vous obtenez 0x = 7, il est strictement interdit d'écrire x = 7/0 ! Il faut conclure immédiatement que l'équation ne possède aucune solution car aucun produit par zéro ne peut donner 7.

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