Propriété du produit-nul

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. • A B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0 ; avec trois facteurs, trois équations. • Conditions : un produit dans un membre, 0 dans l'autre. • Un facteur constant non nul, comme 5 dans 5(x - 1) = 0, ne donne pas de solution.

Le cours

Notion de 3ème Dans un produit, le nombre 0 joue un rôle à part : c'est le seul résultat qui permet de dire quelque chose de chacun des facteurs. Cette propriété est l'outil central pour résoudre, en 3ème, des équations où apparaît x^2. Ce qu'il faut savoir Propriété du produit nul : un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. « Si et seulement si » réunit deux affirmations. Si un facteur est nul, le produit est nul : 0 7 = 0. Réciproquement, si un produit est nul, au moins un facteur est nul : c'est ce sens qui sert à résoudre les équations. Le mot « ou » n'exclut rien : les deux facteurs peuvent être nuls en même temps. La propriété vaut pour plus de deux facteurs : A B C = 0 si et seulement si A = 0 ou B = 0 ou C = 0. Un facteur constant non nul ne donne aucune solution : dans 5(x - 1) = 0, le facteur 5 n'est jamais nul, donc x - 1 = 0 et x = 1 est la seule solution. A B = 0 si et seulement si A = 0 \ ou \ B = 0 Quand peut-on l'utiliser ? 1. Un des membres vaut exactement 0. 2. L'autre membre est un produit : sa dernière opération est une multiplication. 3. On écrit alors la phrase de la propriété, puis une équation « facteur = 0 » pour chaque facteur, reliées par « ou ». Ainsi, (x - 2)(x + 5) = 0 se traite directement ; (x - 2) + (x + 5) = 0 non, car c'est une somme ; x^2 + 3x = 0 pas encore, car il faut d'abord factoriser : x(x + 3) = 0. Attention La propriété ne fonctionne qu'avec 0. Le produit 2 5 vaut 10 sans qu'aucun facteur ne soit égal à 10 : de (x - 3)(x + 2) = 10, on ne peut pas tirer x - 3 = 10 ou x + 2 = 10. D'ailleurs, x = 13 donne 10 15 = 150. Pourquoi est-ce vrai ? Si A B = 0 et A 0, on peut diviser par A : B = 0/A = 0. Donc si le premier facteur n'est pas nul, c'est forcément le second qui l'est.

Dans ce chapitre