Triangles semblables : définition, angles égaux et côtés proportionnels

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Deux triangles sont semblables si leurs angles respectifs sont deux à deux de même mesure (deux angles égaux suffisent). • Si deux triangles sont semblables, les longueurs de leurs côtés homologues sont proportionnelles : A'B'/AB = A'C'/AC = B'C'/BC = k. • Le théorème de Thalès est un cas particulier produisant deux triangles semblables.

Le cours

1. Qu'est-ce que deux triangles semblables ? Deux triangles sont dits semblables s'ils ont exactement la même forme, sans avoir nécessairement la même taille. L'un est un agrandissement ou une réduction de l'autre. Deux triangles sont semblables si et seulement si leurs angles deux à deux ont la même mesure. Propriété pratique : comme la somme des trois angles d'un triangle vaut toujours 180^, il suffit que deux paires d'angles soient de même mesure pour que la troisième le soit automatiquement, ce qui garantit que les triangles sont semblables. 2. Proportionnalité des côtés homologues Lorsque deux triangles ABC et A'B'C' sont semblables, les longueurs des côtés opposés aux angles égaux (appelés côtés homologues) sont proportionnelles : A'B'/AB = A'C'/AC = B'C'/BC = k Ce coefficient constant de proportionnalité k > 0 est appelé rapport de similitude : • Si k > 1, le triangle A'B'C' est un agrandissement de ABC de rapport k. • Si k Cette propriété fait le pont direct avec le théorème de Thalès, où la droite parallèle engendre deux triangles semblables. 3. Attention à l'appariement des côtés homologues Pour écrire correctement les rapports de proportionnalité, appariez toujours les côtés situés en face d'angles de même mesure. Si les sommets ne sont pas correctement ordonnés, les quotients seront mélangés et les calculs de longueurs seront faux.

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