Effet d'un agrandissement ou réduction de rapport k sur le périmètre et l'aire

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k > 0 : • Les longueurs et le périmètre sont multipliés par k : P' = k P. • Les aires sont multipliées par k^2 : A' = k^2 A. • Si k = 1/3, les longueurs sont divisées par 3, et l'aire est divisée par 9.

Le cours

1. Rapport de réduction ou d'agrandissement k Dans une configuration de Thalès avec (MN) (BC), le triangle AMN est une réduction ou un agrandissement du triangle ABC. Le rapport des longueurs est donné par la valeur commune des trois quotients : k = AM/AB = AN/AC = MN/BC Toutes les dimensions linéaires (côtés, hauteurs, médianes, rayons de cercles inscrits) du petit triangle sont obtenues en multipliant celles du grand triangle par le coefficient k > 0. 2. Conséquences sur les grandeurs géométriques L'effet de la multiplication des longueurs par k dépend de la dimension physique de la grandeur considérée : • Longueurs et périmètres (dimension 1) : le périmètre est multiplié par le coefficient linéaire k. -slate-800 leading-relaxed_nouveau = k -slate-800 leading-relaxed_initial • Aires et surfaces (dimension 2) : chaque aire est le produit de deux longueurs. L'aire est donc multipliée par le carré du coefficient, soit k^2. A_nouvelle = k^2 A_initiale Par exemple, si les longueurs d'un triangle sont divisées par 2 (k = 0,5), son périmètre est divisé par 2, mais son aire est divisée par 2^2 = 4 (k^2 = 0,25). 3. Piège classique sur l'aire L'erreur la plus commune consiste à multiplier l'aire par k au lieu de k^2. Si une figure est agrandie avec un rapport k = 3, son périmètre triple (k = 3), mais sa surface devient 3^2 = 9 fois plus grande !

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