Agrandissement et réduction de triangles de 4ème

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Agrandir ou réduire un triangle : multiplier toutes ses longueurs par un même nombre k > 0. • k > 1 : agrandissement ; 0 < k < 1 : réduction. • k = longueur imagelongueur départ, pour deux côtés homologues. • Les angles sont conservés ; le périmètre est multiplié par k.

Le cours

Agrandir ou réduire un triangle Agrandir ou réduire un triangle, c'est construire un triangle de même forme dont toutes les longueurs s'obtiennent en multipliant celles du triangle de départ par un même nombre k > 0, appelé rapport (ou coefficient) d'agrandissement ou de réduction. Si k > 1, les longueurs augmentent : c'est un agrandissement. Si 0 réduction. Si k = 1, le triangle obtenu a exactement les mêmes dimensions. k = longueur imagelongueur départ Les deux longueurs du quotient sont celles de deux côtés homologues, c'est-à-dire qui se correspondent. Ce qu'il faut savoir Les longueurs des deux triangles sont proportionnelles : la ligne du triangle obtenu s'obtient en multipliant celle du triangle de départ par k. Les angles sont conservés : un angle de 50^ mesure encore 50^ ; un triangle rectangle reste rectangle, un triangle isocèle reste isocèle. Deux côtés qui se correspondent sont dits homologues : ils sont opposés à des angles de même mesure. Le plus petit côté correspond au plus petit, le plus grand au plus grand. Le périmètre est multiplié par k, comme toutes les longueurs ; l'aire, elle, est multipliée par k^2. Exemple : un triangle de côtés 3\ cm, 4\ cm et 6\ cm agrandi avec k = 1,5. Trianglecôté 1côté 2côté 3départ346image4,569 Méthode : compléter un triangle agrandi ou réduit 1. Associer les côtés homologues : ranger les longueurs dans l'ordre croissant, ou repérer les angles égaux. 2. Calculer k avec un couple de côtés homologues connus : longueur de l'image divisée par la longueur de départ. 3. Multiplier chaque longueur de départ par k ; pour retrouver une longueur de départ, diviser la longueur de l'image par k. 4. Contrôler : avec k > 1, toutes les longueurs augmentent ; avec k Attention Agrandir, ce n'est pas ajouter la même longueur à chaque côté : c'est multiplier toutes les longueurs par le même nombre. Et une mesure d'angle ne se multiplie jamais par k. Vers le théorème de Thalès En 3e, quand une droite parallèle à un côté d'un triangle coupe les deux autres côtés, elle découpe un petit triangle qui est une réduction du grand. Le théorème de Thalès traduit cette proportionnalité des longueurs.

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