Configuration de Thalès dite du sablier ou papillon

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Papillon : (MB) et (NC) se coupent en A, situé entre M et B et entre N et C ; (MN) // (BC). • Même égalité que pour les triangles emboîtés : AM/AB = AN/AC = MN/BC. • Points homologues reliés par les côtés parallèles : M avec B, N avec C. • Ici MB = AM + AB : une longueur qui traverse A n'entre dans aucun rapport.

Le cours

La configuration papillon (ou sablier) Deux droites (MB) et (NC) se coupent en un point A situé entre M et B, et entre N et C. Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, les triangles AMN et ABC se trouvent de part et d'autre de A, tête-bêche, comme les deux ailes d'un papillon ou les deux bulbes d'un sablier. MNABC Ce qu'il faut savoir Le théorème de Thalès s'applique avec la même égalité que dans les triangles emboîtés : AM/AB = AN/AC = MN/BC Les points homologues sont ceux que relient les côtés parallèles : [MN] correspond à [BC], donc M va avec B et N va avec C. Chaque point et son homologue sont sur la même droite, de part et d'autre de A. Les deux triangles ont les mêmes angles : les angles en A sont opposés par le sommet, et les parallèles donnent des angles alternes-internes égaux, comme AMN = ABC. L'un est donc une réduction ou un agrandissement de l'autre. Le rapport AM/AB peut être inférieur ou supérieur à 1 : le plus petit triangle peut se trouver d'un côté comme de l'autre. Comme A est entre M et B, on a MB = AM + AB (dans les triangles emboîtés, c'était AB = AM + MB). Méthode : écrire les rapports dans un papillon 1. Repérer le point de croisement A des deux droites sécantes. 2. Lire les côtés parallèles pour associer les points : chaque extrémité d'un côté parallèle va avec l'extrémité de l'autre côté parallèle située sur la même droite qu'elle. 3. Écrire les trois rapports en partant de A : au numérateur les côtés d'un triangle, au dénominateur ceux de l'autre. 4. Si l'énoncé donne une longueur qui traverse A, la découper : AB = MB - AM. Attention Une longueur qui passe par le point de croisement, comme MB ou NC, n'est un côté d'aucun des deux triangles : elle n'entre jamais dans un rapport de Thalès.

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