Égalité des trois rapports : AM/AB = AN/AC = MN/BC

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• (BM) et (CN) sécantes en A et (MN) // (BC) : AM/AB = AN/AC = MN/BC. • Numérateurs : les côtés du triangle AMN ; dénominateurs : leurs homologues dans ABC. • Deux rapports se lisent sur les sécantes depuis A, le troisième sur les côtés parallèles. • On garde les deux rapports où trois longueurs sur quatre sont connues.

Le cours

Le théorème de Thalès Soient deux droites (d) et (d') sécantes en un point A. Les points M et B sont sur (d), les points N et C sur (d'), tous distincts de A. Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors : AM/AB = AN/AC = MN/BC Cet énoncé vaut pour les triangles emboîtés comme pour la configuration papillon. Il traduit le fait que les longueurs des côtés du triangle AMN sont proportionnelles à celles du triangle ABC. Lire l'égalité comme un tableau de proportionnalité Trianglesur (d)sur (d')côtés parallèlesAMNAMANMNABCABACBC Chaque colonne relie deux côtés homologues ; les trois quotients valent le même nombre k, le rapport de réduction ou d'agrandissement. Les deux premiers rapports se lisent sur les sécantes, à partir de A ; le troisième utilise les deux côtés parallèles. On peut tout inverser, AB/AM = AC/AN = BC/MN, à condition d'inverser les trois quotients à la fois. Méthode : choisir les bons rapports 1. Écrire l'égalité complète des trois rapports. 2. Remplacer les longueurs connues par leurs valeurs. 3. Garder les deux rapports qui contiennent la longueur cherchée et trois longueurs connues. 4. Si une longueur ne part pas de A, comme MB ou NC, calculer d'abord la longueur issue de A par une addition ou une soustraction. Écritures fausses à repérer AM/AB = AC/AN : les étages sont mélangés, le petit triangle passe du haut vers le bas. AM/MB = MN/BC : [MB] n'est un côté d'aucun des deux triangles. AM/AB = BC/MN : le troisième rapport est renversé par rapport aux deux autres.

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