Démontrer le parallélisme préliminaire avant d'appliquer le théorème de Thalès

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Pour appliquer le théorème de Thalès, le parallélisme (MN) (BC) est obligatoire. • Si le parallélisme n'est pas donné, il faut le démontrer au préalable (ex. deux perpendiculaires à une même droite sont parallèles). • Propriété fréquente : « Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles ». • Une rédaction complète commence par prouver le parallélisme avant d'écrire les quotients de Thalès.

Le cours

1. L'exigence de parallélisme du théorème de Thalès Le théorème de Thalès ne peut être utilisé que si les deux droites coupant les sécantes sont strictement parallèles : (d_1) (d_2). Si ce parallélisme n'est pas explicitement précisé dans l'énoncé, il est impératif de le démontrer rigoureusement avant d'écrire l'égalité des trois rapports. Ne jamais écrire l'égalité des rapports de Thalès sans avoir au préalable justifié le parallélisme des droites concernées. Cette étape de justification préalable est un attendu majeur de rédaction au Brevet des collèges. 2. Les trois propriétés classiques pour prouver le parallélisme Selon le codage de la figure ou le texte du problème, on utilise l'une des propriétés géométriques suivantes : • Deux droites perpendiculaires à une même troisième : si (d_1) () et (d_2) (), alors (d_1) (d_2) (très fréquent avec les hauteurs ou la verticale par rapport au sol horizontal). • Angles alternes-internes ou correspondants égaux : si deux angles formés avec une sécante ont la même mesure, les droites sont parallèles. • Propriétés des quadrilatères remarquables : les côtés opposés d'un rectangle, d'un parallélogramme ou les deux bases d'un trapèze sont parallèles par définition. Une fois le parallélisme formellement établi, on cite les droites sécantes et les points alignés pour déployer l'égalité de Thalès en toute validité. 3. Erreur de raisonnement circulaire Ne confondez pas le théorème de Thalès direct (qui exige le parallélisme pour calculer des longueurs) et la réciproque du théorème de Thalès (qui compare des rapports de longueurs connus pour démontrer que des droites sont parallèles). N'utilisez pas Thalès pour calculer une longueur si vous n'avez pas encore prouvé le parallélisme.

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