Théorème de Thalès appliqué aux trapèzes et aux diagonales sécantes

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Dans un trapèze ABCD de bases (AB) (CD), les diagonales se coupent en O. • Configuration en sablier de sommet O : les points A, O, C et B, O, D sont alignés. • Égalité des rapports de Thalès : OA/OC = OB/OD = AB/CD. • Les segments d'un même quotient doivent impérativement appartenir à la même diagonale.

Le cours

1. La géométrie du trapèze et ses diagonales Un trapèze est un quadrilatère qui possède deux côtés opposés parallèles, appelés la petite base et la grande base. Lorsque l'on trace les deux diagonales d'un trapèze ABCD de bases parallèles (AB) et (CD), ces diagonales se coupent en un point intérieur noté O. Le point d'intersection O des diagonales constitue le sommet commun d'une configuration de Thalès en sablier (ou papillon). Les triangles OAB et OCD ont des sommets alignés : A, O, C d'une part et B, O, D d'autre part, et leurs bases respectives (AB) et (CD) sont strictement parallèles par définition du trapèze. 2. Écriture des rapports de Thalès dans le trapèze En appliquant le théorème de Thalès depuis le point d'intersection O des diagonales : OA/OC = OB/OD = AB/CD Chaque rapport compare la distance du sommet O à la petite base avec la distance de O à la grande base sur la même diagonale. De plus, le rapport des bases AB/CD donne immédiatement le rapport de similitude entre les deux triangles opposés par le sommet. 3. Ne pas mélanger les diagonales Faites très attention à associer les segments appartenant à la même droite sécante : OA est aligné avec OC (diagonale [AC]), et OB est aligné avec OD (diagonale [BD]). Ne mélangez pas les lettres en écrivant par exemple OA / OD, ce qui fausserait complètement les égalités.

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