Configuration de Thalès en triangles imbriqués et conditions d'application

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Triangles emboîtés : M [AB], N [AC] ; le triangle AMN est à l'intérieur du triangle ABC. • Trois conditions : (BM) et (CN) sécantes en A ; A, M, B alignés et A, N, C alignés ; (MN) // (BC). • Le parallélisme est donné par l'énoncé ou démontré, jamais lu sur le dessin. • Conditions réunies : AMN est une réduction de ABC.

Le cours

La configuration des triangles emboîtés Deux droites (BM) et (CN) se coupent en un point A. Le point M est sur le segment [AB], le point N sur le segment [AC], et la droite (MN) est parallèle à la droite (BC). Le petit triangle AMN est alors « emboîté » dans le grand triangle ABC : les deux triangles ont le même sommet A et le même angle en A. AMNBCAMN Les trois conditions à vérifier Deux droites sécantes en un point, le sommet commun : (BM) et (CN) se coupent en A. Des points alignés sur chacune de ces droites : A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part, avec M [AB] et N [AC]. Deux droites parallèles qui coupent les deux sécantes : (MN) // (BC). Ce parallélisme doit être donné par l'énoncé (phrase ou codage) ou démontré, par exemple parce que les deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite. Quand les trois conditions sont réunies, les longueurs des côtés de AMN sont proportionnelles à celles de ABC : le triangle AMN est une réduction du triangle ABC, et le théorème de Thalès s'applique. Pourquoi le parallélisme est indispensable Comme (MN) // (BC), les angles correspondants AMN et ABC sont égaux, de même que ANM et ACB, et l'angle en A est commun. Les deux triangles ont donc les mêmes angles : l'un est une réduction de l'autre. Si l'on fait pivoter la droite (MN) autour de M, elle n'est plus parallèle à (BC), les angles changent et la proportionnalité des longueurs disparaît. Méthode : rédiger les hypothèses 1. Repérer les deux droites parallèles, puis prolonger les deux autres droites : leur point d'intersection est le sommet commun. 2. Nommer le petit triangle et le grand triangle, qui ont ce sommet en commun. 3. Écrire les hypothèses dans une phrase complète : « Les points A, M, B sont alignés, ainsi que les points A, N, C, et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. » 4. Seulement ensuite, citer le théorème de Thalès et écrire l'égalité des rapports. Attention Une figure ne prouve rien : deux droites qui « ont l'air » parallèles sur le dessin ne le sont peut-être pas. Sans parallélisme donné ou démontré, on ne peut pas appliquer le théorème de Thalès.

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