Bilan : Synthèse et méthode sur le théorème de Thalès

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Thalès direct : les droites sont parallèles (données ou démontrées) et l'on calcule des longueurs. • Hypothèses : deux droites sécantes en un sommet commun, des points alignés, deux droites parallèles. • AM/AB = AN/AC = MN/BC dans les deux configurations, puis produit en croix. • Le triangle AMN est une réduction ou un agrandissement de ABC : son périmètre est multiplié par le même k.

Le cours

Le théorème de Thalès en une phrase Quand deux droites sécantes en un point A sont coupées par deux droites parallèles (MN) et (BC), le triangle AMN est une réduction ou un agrandissement du triangle ABC : leurs longueurs sont proportionnelles, ce qui s'écrit AM/AB = AN/AC = MN/BC. Le théorème sert à calculer des longueurs ; il ne démontre jamais un parallélisme, ce qui est le rôle de sa réciproque. Les deux configurations Triangles emboîtés Les deux parallèles sont du même côté de A. Points dans l'ordre A, M, B et A, N, C. AB = AM + MB. Le rapport AM/AB est inférieur à 1. Papillon A est entre les deux parallèles. Points dans l'ordre M, A, B et N, A, C. MB = AM + AB. Le rapport AM/AB peut dépasser 1. Dans les deux cas, l'égalité des trois rapports s'écrit de la même façon, à partir du sommet commun A. Rédaction modèle en cinq temps 1. Citer les deux droites sécantes et leur point commun : « Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A. » 2. Citer le parallélisme, donné ou démontré : « Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. » 3. Annoncer le théorème : « D'après le théorème de Thalès, AM/AB = AN/AC = MN/BC. » 4. Remplacer, garder les deux rapports utiles et faire le produit en croix : avec AM = 4, AB = 10 et AC = 7, on obtient 4/10 = AN/7, donc AN = 4 7/10 = 2,8. 5. Conclure avec l'unité et contrôler : les trois quotients doivent avoir la même valeur. Les problèmes classiques Parallélisme à démontrer d'abord : deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles. Thalès et Pythagore : dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore donne une longueur manquante, souvent l'hypoténuse, avant ou après Thalès. Longueurs à reconstituer : AB = AM + MB dans les triangles emboîtés, AB = MB - AM dans le papillon. Situations concrètes : ombres, visées, largeur d'une rivière, pieds croisés d'un tabouret. Périmètre : celui du triangle AMN est celui de ABC multiplié par le même rapport k. Les erreurs qui coûtent des points Oublier de citer le parallélisme, ou le lire sur la figure au lieu de le justifier. Écrire un rapport qui ne part pas du sommet commun, comme AM/MB. Mélanger les étages : le petit triangle en haut dans un rapport, en bas dans un autre. Arrondir un rapport en cours de calcul, oublier une conversion ou l'unité finale.

Dans ce chapitre