Calcul d'une longueur inconnue à l'aide du produit en croix

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• a/b = c/d (avec b 0 et d 0) équivaut à a d = b c. • Inconnue en haut : x/b = c/d donne x = b c/d ; inconnue en bas : a/x = c/d donne x = a d/c. • Même unité pour toutes les longueurs avant de calculer. • Valeur exacte d'abord, arrondi seulement à la fin.

Le cours

Le produit en croix Deux quotients égaux a/b = c/d, avec b 0 et d 0, ont des produits en croix égaux : a d = b c. C'est l'outil qui permet de calculer la longueur inconnue dans une égalité de Thalès. x/b = c/d donne x = b c/d a/x = c/d donne x = a d/c Règle pratique : on multiplie les deux nombres connus placés sur la diagonale qui ne contient pas x, puis on divise par le nombre qui fait face à x sur l'autre diagonale. Ce qu'il faut savoir Dans l'égalité des trois rapports, on ne garde que deux rapports : celui qui contient l'inconnue et un rapport entièrement connu. L'inconnue peut être au numérateur (une longueur du petit triangle) ou au dénominateur (une longueur du grand triangle) : la règle s'applique dans les deux cas. Toutes les longueurs doivent être exprimées dans la même unité avant le calcul. On donne d'abord la valeur exacte (entier, décimal ou fraction irréductible), puis un arrondi si l'énoncé le demande. On n'arrondit jamais un rapport en cours de calcul. L'inconnue peut être cachée dans une expression, comme AB = x + 4 : le produit en croix conduit alors à une équation du premier degré. Méthode en cinq temps 1. Citer les hypothèses et écrire l'égalité de Thalès. 2. Convertir si besoin, puis remplacer les longueurs connues. 3. Isoler les deux rapports utiles. 4. Appliquer le produit en croix et simplifier. 5. Conclure avec l'unité, puis contrôler le résultat. Contrôle de cohérence Avant de conclure, compare : une longueur du petit triangle doit être plus courte que son homologue dans le grand triangle, et le rapport obtenu avec la longueur trouvée doit être égal au rapport des longueurs connues.

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