Combiner les théorèmes de Pythagore et de Thalès dans une figure complexe

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Problèmes mixtes : Pythagore calcule une longueur dans un triangle rectangle, puis Thalès transfère les proportions grâce aux parallèles. • Toujours préciser dans quel triangle s'applique chaque théorème. • Vérifier la condition d'angle droit pour Pythagore et la condition de parallélisme pour Thalès. • Garder les valeurs exactes intermédiaires avant d'arrondir le résultat final.

Le cours

1. Deux grands théorèmes complémentaires du collège Dans de nombreux problèmes de synthèse au Brevet des collèges, une figure géométrique combine un triangle rectangle et des droites parallèles. La résolution nécessite alors d'articuler méthodiquement deux outils majeurs : • Le théorème de Pythagore s'applique dans un triangle rectangle pour calculer la longueur d'un troisième côté à partir de deux côtés connus. • Le théorème de Thalès s'applique dans une configuration de droites parallèles coupant deux sécantes pour propager des proportions. La clé de la réussite réside dans l'identification de l'ordre des étapes : une première longueur calculée avec Pythagore devient une donnée indispensable pour compléter les rapports de Thalès (ou inversement). 2. Méthode pas à pas pour structurer la résolution Pour ne pas perdre le fil du raisonnement : 1. Repérer le triangle rectangle de référence, énoncer le théorème de Pythagore et calculer la longueur charnière (hypoténuse ou côté de l'angle droit). 2. Démontrer ou vérifier le parallélisme des droites coupant les sécantes. 3. Poser l'égalité des trois rapports de Thalès en intégrant la longueur fraîchement obtenue à l'étape 1. 4. Résoudre l'équation par un produit en croix pour obtenir la longueur finale recherchée. Rédigez chaque partie dans un paragraphe distinct en précisant clairement le nom du triangle et le théorème appliqué. 3. Vigilance sur les valeurs intermédiaires Si la longueur intermédiaire issue du théorème de Pythagore n'est pas un nombre décimal exact (par exemple 50), conservez sa valeur exacte sous forme de racine ou gardez un grand nombre de décimales dans vos calculs intermédiaires. N'arrondissez qu'à la toute fin pour ne pas accumuler d'erreurs d'arrondi.

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