Relations entre angles complémentaires : sinus d'un angle et cosinus de son complément

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Si deux angles aigus sont complémentaires (a + b = 90^), alors (a) = (b) et (a) = (b). • Relation quotient : (x) = (x)/(x). • Relation de Pythagore trigonométrique : ^2(x) + ^2(x) = 1. • Pour tout angle aigu, 0 < (x) < 1 et 0 < (x) < 1.

Le cours

1. Échange des côtés opposé et adjacent dans le triangle rectangle Considérons un triangle ABC rectangle en C. Les deux angles aigus A et B sont complémentaires (A + B = 90^). Le côté opposé à l'angle A est [BC], qui est en même temps le côté adjacent à l'angle B. Le côté adjacent à l'angle A est [AC], qui est en même temps le côté opposé à l'angle B. Comme l'hypoténuse [AB] est commune aux deux angles, le rapport définissant le sinus de l'un est identique au rapport définissant le cosinus de l'autre. 2. Propriétés fondamentales liant les fonctions trigonométriques Pour tout angle aigu de mesure x (exprimée en degrés avec 0^ • Règle des angles complémentaires : (x) = (90^ - x) et (x) = (90^ - x) • Lien avec la tangente : (x) = (x)/(x) • Formule fondamentale de Pythagore trigonométrique : ((x))^2 + ((x))^2 = 1 (notée ^2(x) + ^2(x) = 1) Cette dernière formule provient directement du théorème de Pythagore AC^2 + BC^2 = AB^2 en divisant chaque terme par AB^2. 3. Propriété d'encadrement Puisque dans un triangle rectangle l'hypoténuse est strictement plus longue que chacun des côtés de l'angle droit, le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours des nombres strictement compris entre 0 et 1 : 0 < (x) < 1 et 0 < (x) < 1. En revanche, la tangente peut prendre n'importe quelle valeur positive, y compris supérieure à 1.

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