Calcul de la mesure d'un angle aigu avec arcsin, arccos ou arctan

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Deux longueurs connues : on calcule le rapport qui les relie, puis l'angle avec la touche réciproque. • Cosinus connu : touche ^-1 ; sinus connu : touche ^-1 ; tangente connue : touche ^-1. • Calculatrice en degrés ; le résultat est compris entre 0^ et 90^. • Le second angle aigu vaut 90^ moins le premier.

Le cours

Deux longueurs donnent un angle Si l'on connaît deux côtés d'un triangle rectangle, on calcule le rapport trigonométrique qui les relie ; la calculatrice retrouve ensuite l'angle aigu qui possède ce rapport. Il n'y en a qu'un seul, puisque le rapport change dès que l'angle change. Les touches réciproques Côtés connusRapportTouche, en degrésadjacent et hypoténusecosinus^-1 (ou Arccos)opposé et hypoténusesinus^-1 (ou Arcsin)opposé et adjacenttangente^-1 (ou Arctan) Sur la plupart des calculatrices, ces touches s'obtiennent en appuyant sur « seconde » (2nde) ou « shift », puis sur cos, sin ou tan. Elles font le chemin inverse : (60^) = 0,5 et ^-1(0,5) = 60^. Méthode 1. Pour l'angle cherché, nommer l'hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent, et repérer les deux côtés connus. 2. Écrire le rapport correspondant sous forme de fraction, les deux longueurs dans la même unité. 3. Taper la touche réciproque suivie de la fraction entière entre parenthèses, calculatrice en degrés. 4. Arrondir à la précision demandée. Le second angle aigu vaut 90^ moins le premier. Exemple commenté ABC est rectangle en A, avec AB = 4 cm et BC = 7 cm. Pour l'angle ABC, [AB] est le côté adjacent et [BC] l'hypoténuse : (ABC) = 4/7, donc ABC = ^-1(4/7) 55,2^. L'autre angle aigu mesure ACB 90^ - 55,2^ = 34,8^. Attention aux arrondis et aux messages d'erreur Arrondir le rapport avant de chercher l'angle fausse le résultat : 4/7 0,571, mais ^-1(0,6) 53,1^ au lieu de 55,2^. Garde la fraction exacte. Si la calculatrice affiche une erreur, le rapport tapé dépasse sans doute 1 : l'hypoténuse a été mise au numérateur d'un cosinus ou d'un sinus. Sans calculatrice Quelques cas se reconnaissent : deux côtés de l'angle droit égaux donnent un triangle rectangle isocèle, donc deux angles de 45^ (tangente égale à 1) ; un côté adjacent égal à la moitié de l'hypoténuse donne 60^ (cosinus égal à 0,5) ; un côté opposé égal à la moitié de l'hypoténuse donne 30^ (sinus égal à 0,5).

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