Triangle rectangle et théorème de Pythagore de 4ème

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Hypoténuse : le côté en face de l'angle droit, le plus long des trois. • Si ABC est rectangle en A, alors BC^2 = AB^2 + AC^2. • Côté de l'angle droit : AB^2 = BC^2 - AC^2. • Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires : leur somme vaut 90^.

Le cours

Ce que tu as appris en 4ème La trigonométrie de 3ème travaille uniquement dans des triangles rectangles. Avant de relier angles et longueurs, il faut savoir reconnaître un triangle rectangle, nommer ses côtés et utiliser le théorème de Pythagore, qui relie les trois longueurs entre elles. Le vocabulaire du triangle rectangle Dans un triangle ABC rectangle en A, l'hypoténuse est le côté [BC], situé en face de l'angle droit. C'est le plus long des trois côtés. Les deux autres côtés, [AB] et [AC], sont les côtés de l'angle droit. La somme des angles d'un triangle vaut 180^ et l'angle droit en prend 90^ : les deux angles aigus sont complémentaires, B + C = 90^. Le théorème de Pythagore Si le triangle ABC est rectangle en A, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : BC^2 = AB^2 + AC^2 On en tire deux calculs : l'hypoténuse, BC = AB^2 + AC^2, ou un côté de l'angle droit, AB = BC^2 - AC^2. La réciproque : prouver qu'un triangle est rectangle On calcule séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres. En cas d'égalité, le triangle est rectangle et l'angle droit est en face du plus grand côté. Sinon, il ne l'est pas. Pythagore ou trigonométrie ? Deux longueurs connues, une longueur cherchée : le théorème de Pythagore suffit. Un angle aigu intervient, connu ou cherché : il faut la trigonométrie, car le théorème de Pythagore ne fait intervenir aucun angle. Attention Le théorème ne s'applique que si l'on sait que le triangle est rectangle, et il porte sur les carrés des longueurs : avec des côtés de l'angle droit de 5 cm et 12 cm, l'hypoténuse mesure 25 + 144 = 169 = 13 cm, et non 5 + 12 = 17 cm.

Dans ce chapitre

• Triangle rectangle et théorème de Pythagore de 4ème
• Côté adjacent, hypoténuse et cosinus d'un angle aigu de 4ème
• Angles d'un triangle, angles complémentaires et calculs au degré près de 5ème
• Côté opposé à un angle aigu et moyen mnémotechnique CAH-SOH-TOA
• Définitions du sinus (Opp/Hyp) et de la tangente (Opp/Adj)
• Calcul d'une longueur inconnue avec sinus ou tangente
• Calcul de la mesure d'un angle aigu avec arcsin, arccos ou arctan
• Passer d'un rapport trigonométrique aux deux autres avec le théorème de Pythagore
• Relations entre angles complémentaires : sinus d'un angle et cosinus de son complément
• Angle d'élévation, angle de dépression et calculs de distances inaccessibles
• Pente d'une route, inclinaison d'une rampe d'accès et notion de tangente
• Tracer une hauteur pour appliquer la trigonométrie dans un triangle quelconque
• Valeurs remarquables du cosinus, du sinus et de la tangente pour 30°, 45° et 60°
• Bilan : Synthèse et méthode sur la trigonométrie dans le triangle rectangle