Valeurs remarquables du cosinus, du sinus et de la tangente pour 30°, 45° et 60°

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Valeurs remarquables fondamentales : - Pour 30^ : (30^) = 1/2, (30^) = 32, (30^) = 33. - Pour 45^ : (45^) = (45^) = 22, (45^) = 1. - Pour 60^ : (60^) = 32, (60^) = 1/2, (60^) = 3. • Une valeur exacte doit conserver les symboles de fractions et de racines carrées.

Le cours

1. Pourquoi des valeurs exactes remarquables ? Dans la plupart des cas, les valeurs fournies par la calculatrice pour le cosinus, le sinus ou la tangente sont des nombres décimaux infinis non périodiques qui doivent être arrondis. Cependant, pour certains angles particuliers (30^, 45^ et 60^), la géométrie des figures régulières (triangle équilatéral et carré) permet de calculer des valeurs exactes simplifiées avec des racines carrées. Ces valeurs remarquables sont à connaître par cœur pour aborder sereinement le lycée et réussir les épreuves de mathématiques sans calculatrice. Elles proviennent directement du demi-carré (angle de 45^) et du demi-triangle équilatéral (angles de 30^ et 60^). 2. Tableau synthétique des valeurs remarquables Voici les valeurs fondamentales à mémoriser : Angle x 30^ 45^ 60^ (x) 1/2 22 32 (x) 32 22 1/2 (x) 33 1 3 Astuce mnémotechnique pour la ligne du sinus : les numérateurs sont 1/2, 2/2, 3/2. La ligne du cosinus s'obtient simplement en inversant l'ordre de gauche à droite. 3. Valeur exacte contre valeur approchée Lorsque la consigne demande la « valeur exacte », il est formellement interdit de donner une écriture décimale approchée issue de la calculatrice : par exemple, (30^) = 32 et non 0,866. L'écriture avec radicaux est la seule rigoureuse.

Dans ce chapitre

• Triangle rectangle et théorème de Pythagore de 4ème
• Côté adjacent, hypoténuse et cosinus d'un angle aigu de 4ème
• Angles d'un triangle, angles complémentaires et calculs au degré près de 5ème
• Côté opposé à un angle aigu et moyen mnémotechnique CAH-SOH-TOA
• Définitions du sinus (Opp/Hyp) et de la tangente (Opp/Adj)
• Calcul d'une longueur inconnue avec sinus ou tangente
• Calcul de la mesure d'un angle aigu avec arcsin, arccos ou arctan
• Passer d'un rapport trigonométrique aux deux autres avec le théorème de Pythagore
• Relations entre angles complémentaires : sinus d'un angle et cosinus de son complément
• Angle d'élévation, angle de dépression et calculs de distances inaccessibles
• Pente d'une route, inclinaison d'une rampe d'accès et notion de tangente
• Tracer une hauteur pour appliquer la trigonométrie dans un triangle quelconque
• Valeurs remarquables du cosinus, du sinus et de la tangente pour 30°, 45° et 60°
• Bilan : Synthèse et méthode sur la trigonométrie dans le triangle rectangle