Pente d'une route, inclinaison d'une rampe d'accès et notion de tangente

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Pente de p\,\% : dénivelé vertical de p mètres pour 100 mètres horizontaux. • Formule clé : () = dénivelédistance horizontale = p/100. • Calcul de l'angle d'inclinaison : = (p/100). • Attention : le dénominateur de la pente est la distance horizontale et non la longueur de la route.

Le cours

1. Qu'est-ce que la pente en pourcentage ? Sur les panneaux du code de la route, une descente dangereuse est signalée par un panneau triangulaire avec un pourcentage (par exemple 10\,\%). Dans le domaine du bâtiment, les rampes d'accès pour personnes à mobilité réduite (PMR) sont soumises à des normes strictes (pente maximale de 5\,\%). Une pente de p\,\% signifie que l'on s'élève ou descend d'un dénivelé vertical de p mètres lorsque l'on parcourt une distance horizontale de 100 mètres. Pente = dénivelé verticaldistance horizontale = p/100 Cette définition repose sur le rapport entre le côté vertical et le côté horizontal d'un triangle rectangle. 2. Lien fondamental entre pente et tangente Considérons l'angle d'inclinaison que fait la pente avec le sol horizontal : • Dans le triangle rectangle formé par le dénivelé et la distance horizontale : () = côté opposé (dénivelé)côté adjacent (distance horizontale) = p/100 • La tangente de l'angle d'inclinaison est rigoureusement égale à la pente décimale ! • Pour retrouver la mesure de l'angle d'inclinaison en degrés, on utilise la fonction réciproque de la tangente sur la calculatrice : = (p/100). Pour de petits angles (inférieurs à 10^), l'angle en degrés est approximativement proportionnel au pourcentage de la pente : un dénivelé de 10\,\% correspond à un angle d'environ 5,7^. 3. Erreur courante de distance Ne confondez pas la distance horizontale au sol (le côté adjacent du triangle) et la distance réellement parcourue sur la route en pente (l'hypoténuse du triangle). La pente est calculée avec la distance horizontale au dénominateur, et non avec la longueur de la chaussée.

Dans ce chapitre

• Triangle rectangle et théorème de Pythagore de 4ème
• Côté adjacent, hypoténuse et cosinus d'un angle aigu de 4ème
• Angles d'un triangle, angles complémentaires et calculs au degré près de 5ème
• Côté opposé à un angle aigu et moyen mnémotechnique CAH-SOH-TOA
• Définitions du sinus (Opp/Hyp) et de la tangente (Opp/Adj)
• Calcul d'une longueur inconnue avec sinus ou tangente
• Calcul de la mesure d'un angle aigu avec arcsin, arccos ou arctan
• Passer d'un rapport trigonométrique aux deux autres avec le théorème de Pythagore
• Relations entre angles complémentaires : sinus d'un angle et cosinus de son complément
• Angle d'élévation, angle de dépression et calculs de distances inaccessibles
• Pente d'une route, inclinaison d'une rampe d'accès et notion de tangente
• Tracer une hauteur pour appliquer la trigonométrie dans un triangle quelconque
• Valeurs remarquables du cosinus, du sinus et de la tangente pour 30°, 45° et 60°
• Bilan : Synthèse et méthode sur la trigonométrie dans le triangle rectangle