Angle d'élévation, angle de dépression et calculs de distances inaccessibles

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Angle d'élévation : mesuré au-dessus de l'horizontale en levant le regard. • Angle de dépression : mesuré au-dessous de l'horizontale en baissant le regard. • L'angle de dépression depuis un point haut est égal à l'angle d'élévation depuis le point bas (angles alternes-internes). • Formule fréquente : hauteur = distance (). • Ne pas oublier d'ajouter la hauteur des yeux pour obtenir la hauteur totale par rapport au sol.

Le cours

1. Définition des angles d'élévation et de dépression En topographie, navigation maritime et observation astronomique, un observateur vise un point éloigné à l'aide d'un instrument d'optique (théodolite, lunette). La ligne de visée horizontale passant par les yeux de l'observateur sert de référence : • Angle d'élévation : angle formé entre la ligne horizontale et la ligne de visée orientée vers le haut (vers un objet situé plus haut que l'observateur). • Angle de dépression : angle formé entre la ligne horizontale et la ligne de visée orientée vers le bas (vers un objet situé plus bas que l'observateur). Par la propriété des angles alternes-internes formés avec deux horizontales parallèles, l'angle de dépression mesuré depuis le sommet d'une falaise vers un bateau est égal à l'angle d'élévation mesuré depuis le bateau vers le sommet de la falaise. 2. Modélisation géométrique en triangle rectangle Pour calculer une hauteur inaccessible (arbre, monument, phare) : 1. On trace un triangle rectangle dont un côté est horizontal (la distance au sol d) et l'autre vertical (la différence de hauteur h). 2. Dans ce triangle rectangle, on relie l'angle d'élévation par la tangente : () = hauteur hdistance d h = d () 3. Pour obtenir la hauteur totale de l'édifice par rapport au sol, on ajoute la taille de l'instrument ou de l'observateur à la hauteur calculée h. Cette technique permet de mesurer des monuments gigantesques sans jamais monter dessus. 3. Piège de la hauteur des yeux N'oubliez pas d'intégrer la hauteur des yeux de l'observateur au-dessus du sol ! Si l'observateur mesure 1,60\ m, le calcul trigonométrique d () ne donne que la hauteur située au-dessus de son regard. La hauteur totale du bâtiment est H = h + 1,60\ m.

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