Passer d'un rapport trigonométrique aux deux autres avec le théorème de Pythagore

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Un rapport connu s'écrit comme une fraction, par exemple () = 0,6 = 3/5. • Triangle modèle : les deux nombres deviennent deux côtés (ici adjacent 3 et hypoténuse 5). • Le théorème de Pythagore donne le troisième côté : 5^2 - 3^2 = 4. • On lit les autres rapports avec CAH-SOH-TOA : () = 4/5 et () = 4/3.

Le cours

Un seul rapport connu Il arrive qu'on connaisse un seul rapport d'un angle aigu , par exemple () = 0,6, sans connaître ni l'angle ni les longueurs. On peut pourtant trouver les valeurs exactes de son sinus et de sa tangente, sans calculatrice, grâce à un triangle « modèle » et au théorème de Pythagore. L'idée : un rapport est une fraction Tous les triangles rectangles qui ont un angle aigu ont les mêmes rapports trigonométriques pour cet angle : on peut donc choisir le plus simple. Comme () = 0,6 = 3/5, on prend un triangle rectangle où le côté adjacent à mesure 3 et l'hypoténuse 5, dans une unité quelconque. Le théorème de Pythagore donne le côté opposé : 5^2 - 3^2 = 16 = 4. On lit alors : () = 4/5 = 0,8 () = 4/3 Méthode 1. Écrire le rapport connu sous forme de fraction. 2. Dessiner un triangle rectangle « modèle » : le numérateur et le dénominateur deviennent les longueurs des deux côtés désignés par CAH, SOH ou TOA. 3. Calculer le troisième côté avec le théorème de Pythagore. 4. Écrire les deux autres rapports avec CAH-SOH-TOA, en valeur exacte. Exemple avec une racine carrée Si () = 1/3, le triangle modèle a un côté opposé de 1 et une hypoténuse de 3. Le côté adjacent vaut 3^2 - 1^2 = 8. Donc () = 83 0,943 et () = 18 0,354. Attention Avec une tangente, les deux nombres de la fraction sont les côtés de l'angle droit : l'hypoténuse est à calculer. Pour () = 3/4, elle vaut 3^2 + 4^2 = 5, d'où () = 3/5 et () = 4/5. Enfin, un cosinus ou un sinus est toujours inférieur à 1 : une fraction comme 5/3 ne peut être ni l'un ni l'autre. Pour aller plus loin Avec () = 0,6 et () = 0,8, on remarque que 0,6^2 + 0,8^2 = 0,36 + 0,64 = 1 et que 0,80,6 = 4/3, la tangente. Ce n'est pas un hasard : pour tout angle aigu, le carré du cosinus plus le carré du sinus vaut 1 (c'est l'égalité de Pythagore divisée par le carré de l'hypoténuse), et la tangente est le quotient du sinus par le cosinus. Ces deux égalités ne sont pas exigées en 3ème ; elles seront utilisées au lycée.

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