Tracer une hauteur pour appliquer la trigonométrie dans un triangle quelconque

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• La trigonométrie du collège ne s'applique JAMAIS directement dans un triangle non rectangle. • Tracer une hauteur crée deux triangles rectangles ayant la hauteur pour côté commun. • Démarche : calculer la hauteur dans le premier triangle, puis l'utiliser dans le second triangle. • Ne pas supposer que la hauteur coupe la base en son milieu (vrai uniquement si le triangle est isocèle).

Le cours

1. Pourquoi la trigonométrie du collège ne s'applique-t-elle pas directement ? Les formules du cosinus, du sinus et de la tangente apprises au collège reposent exclusivement sur les notions d'hypoténuse, de côté adjacent et de côté opposé. Ces notions n'ont de sens que dans un triangle rectangle ! Il est donc strictement interdit d'écrire (A) = AB/AC dans un triangle quelconque qui ne comporte aucun angle droit. Pour exploiter la trigonométrie dans un triangle quelconque, on trace la hauteur issue de l'un des sommets afin de le découper en deux triangles rectangles juxtaposés. Le pied de la hauteur crée un point intermédiaire sur la base opposée et fait apparaître deux angles droits exploitables. 2. Méthode de calcul en deux temps En traçant la hauteur [AH] perpendiculaire au côté opposé [BC] : • Premier triangle rectangle (ABH rectangle en H) : on calcule la longueur de la hauteur commune AH à l'aide d'un angle connu ou d'une longueur connue (par exemple AH = AB (B)). • Second triangle rectangle (ACH rectangle en H) : on réutilise la longueur calculée AH pour déterminer l'angle inconnu C (par (C) = AH/AC) ou la longueur du côté AC. • Calcul de l'aire totale : la hauteur AH permet également d'obtenir immédiatement l'aire du triangle complet : A = BC AH/2. Cette méthode permet de résoudre de très nombreux problèmes d'arpentage et de triangulation. 3. Attention au pied de la hauteur Le pied de la hauteur H ne coupe pas le côté opposé en son milieu, sauf si le triangle est isocèle ou équilatéral ! Ne supposez jamais que BH = HC = BC/2 dans un triangle quelconque scalène : vous devez déterminer chaque segment séparément à l'aide du cosinus ou du théorème de Pythagore.

Dans ce chapitre

• Triangle rectangle et théorème de Pythagore de 4ème
• Côté adjacent, hypoténuse et cosinus d'un angle aigu de 4ème
• Angles d'un triangle, angles complémentaires et calculs au degré près de 5ème
• Côté opposé à un angle aigu et moyen mnémotechnique CAH-SOH-TOA
• Définitions du sinus (Opp/Hyp) et de la tangente (Opp/Adj)
• Calcul d'une longueur inconnue avec sinus ou tangente
• Calcul de la mesure d'un angle aigu avec arcsin, arccos ou arctan
• Passer d'un rapport trigonométrique aux deux autres avec le théorème de Pythagore
• Relations entre angles complémentaires : sinus d'un angle et cosinus de son complément
• Angle d'élévation, angle de dépression et calculs de distances inaccessibles
• Pente d'une route, inclinaison d'une rampe d'accès et notion de tangente
• Tracer une hauteur pour appliquer la trigonométrie dans un triangle quelconque
• Valeurs remarquables du cosinus, du sinus et de la tangente pour 30°, 45° et 60°
• Bilan : Synthèse et méthode sur la trigonométrie dans le triangle rectangle