Calcul d'une longueur inconnue avec sinus ou tangente

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• On choisit le rapport (cosinus, sinus ou tangente) qui contient le côté connu et le côté cherché. • Longueur cherchée au numérateur : on multiplie, par exemple opposé = adjacent (). • Longueur cherchée au dénominateur : on divise, par exemple hypoténuse = opposé(). • Calculatrice en degrés ; on n'arrondit qu'à la fin.

Le cours

Un angle et un côté suffisent Dans un triangle rectangle, si l'on connaît la mesure d'un angle aigu et la longueur d'un côté, on peut calculer chacun des deux autres côtés. Le principe est celui du cosinus vu en 4ème ; le sinus et la tangente permettent en plus d'atteindre directement le côté opposé. Quel rapport pour quels côtés ? Côtés en jeu (connu et cherché)Rapport à utiliseradjacent et hypoténusecosinus (CAH)opposé et hypoténusesinus (SOH)opposé et adjacenttangente (TOA) Le troisième côté, qui n'intervient pas, est laissé de côté : il pourra être calculé ensuite. Deux cas de calcul La longueur cherchée est au numérateur : on multiplie. De () = opposéhypoténuse, on tire opposé = hypoténuse () ; de () = opposéadjacent, on tire opposé = adjacent (). La longueur cherchée est au dénominateur : on divise. Par exemple hypoténuse = opposé() et adjacent = opposé(). Méthode 1. Marquer l'angle connu ; nommer l'hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent. 2. Choisir le rapport qui contient le côté connu et le côté cherché. 3. Écrire l'égalité avec les lettres du triangle, puis remplacer par les valeurs. 4. Isoler la longueur cherchée par produit en croix. 5. Calculer en degrés et n'arrondir qu'à la fin, à la précision demandée, avec l'unité. Exemple commenté ABC est rectangle en A, avec ABC = 40^ et AB = 6 cm. Pour l'angle ABC, [AB] est le côté adjacent. Côté opposé AC : (40^) = AC/6, donc AC = 6 (40^) 5,03 cm. Hypoténuse BC : (40^) = 6/BC, donc BC = 6/(40^) 7,83 cm. Les vérifications qui évitent les erreurs L'hypoténuse doit rester le plus long côté. Pour un angle de moins de 45^, le côté opposé est plus court que le côté adjacent ; au-delà de 45^, il est plus long. Si un résultat contredit ces repères, c'est l'opération (multiplication ou division) ou le rapport choisi qu'il faut revoir.

Dans ce chapitre

• Triangle rectangle et théorème de Pythagore de 4ème
• Côté adjacent, hypoténuse et cosinus d'un angle aigu de 4ème
• Angles d'un triangle, angles complémentaires et calculs au degré près de 5ème
• Côté opposé à un angle aigu et moyen mnémotechnique CAH-SOH-TOA
• Définitions du sinus (Opp/Hyp) et de la tangente (Opp/Adj)
• Calcul d'une longueur inconnue avec sinus ou tangente
• Calcul de la mesure d'un angle aigu avec arcsin, arccos ou arctan
• Passer d'un rapport trigonométrique aux deux autres avec le théorème de Pythagore
• Relations entre angles complémentaires : sinus d'un angle et cosinus de son complément
• Angle d'élévation, angle de dépression et calculs de distances inaccessibles
• Pente d'une route, inclinaison d'une rampe d'accès et notion de tangente
• Tracer une hauteur pour appliquer la trigonométrie dans un triangle quelconque
• Valeurs remarquables du cosinus, du sinus et de la tangente pour 30°, 45° et 60°
• Bilan : Synthèse et méthode sur la trigonométrie dans le triangle rectangle