Définitions du sinus (Opp/Hyp) et de la tangente (Opp/Adj)

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• (B) = côté opposéhypoténuse et (B) = côté opposécôté adjacent. • Pour un angle aigu, 0 < (B) < 1 ; la tangente peut dépasser 1. • (45^) = 1 ; la tangente dépasse 1 dès que l'angle dépasse 45^. • Ces nombres ne dépendent que de la mesure de l'angle, pas de la taille du triangle.

Le cours

Deux nouveaux rapports Le cosinus compare le côté adjacent à l'hypoténuse. En 3ème, deux autres quotients de longueurs d'un triangle rectangle complètent la liste : le sinus et la tangente d'un angle aigu. Définitions Dans un triangle ABC rectangle en A, pour l'angle aigu B : (B) = côté opposé à Bhypoténuse = AC/BC (B) = côté opposé à Bcôté adjacent à B = AC/AB Comme le cosinus, ce sont des nombres sans unité : les deux longueurs du quotient doivent être exprimées dans la même unité. Les valeurs possibles Le côté opposé est plus court que l'hypoténuse, donc 0 La tangente peut prendre n'importe quelle valeur strictement positive : elle est inférieure à 1 si le côté opposé est plus court que le côté adjacent, égale à 1 s'ils sont égaux (triangle rectangle isocèle, angle de 45^), supérieure à 1 sinon. Quand l'angle aigu grandit, son sinus et sa tangente augmentent, tandis que son cosinus diminue. Le côté opposé à l'un des angles aigus est le côté adjacent à l'autre : dans ABC rectangle en A, (B) = (C) = AC/BC. AngleSinusTangente10^0,1740,17630^0,50,57745^0,707160^0,8661,73280^0,9855,671 Valeurs arrondies au millième, sauf (30^) = 0,5 et (45^) = 1, qui sont exactes. Un rapport qui ne dépend que de l'angle Deux triangles rectangles qui ont un même angle aigu ont la même forme : l'un est un agrandissement de l'autre, ce que l'on démontre avec le théorème de Thalès en plaçant les deux triangles l'un dans l'autre. Leurs côtés sont proportionnels, donc les quotients sont égaux. Avec un angle de 30^, par exemple, un triangle d'hypoténuse 4 cm a un côté opposé de 2 cm et un triangle d'hypoténuse 10 cm un côté opposé de 5 cm : dans les deux cas, le quotient vaut 0,5. Méthode : calculer un sinus ou une tangente 1. Repérer l'angle, puis l'hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent. 2. Écrire le quotient avec les lettres du triangle, puis remplacer par les longueurs, toutes dans la même unité. 3. Simplifier la fraction ou donner une valeur approchée. 4. Contrôler : un sinus est compris entre 0 et 1 ; une tangente supérieure à 1 correspond à un angle de plus de 45^. Calculatrice en degrés Pour obtenir (30^) = 0,5, la calculatrice doit être réglée en degrés (DEG, ou D affiché à l'écran). Réglée en radians, elle calcule autre chose et affiche environ -0,988 : un sinus négatif doit t'alerter immédiatement.

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