Translation et vecteur : direction, sens, norme et égalité vectorielle — 3ème

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Un vecteur AB est défini par une direction (droite), un sens (de A vers B) et une norme (AB). • Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même longueur. • AB = CD équivaut à dire que ABDC est un parallélogramme. • Vecteur opposé : -AB = BA.

Le cours

1. La notion de vecteur Une translation est un glissement sans rotation. Ce déplacement rectiligne est caractérisé par un vecteur. Le vecteur AB est défini par le déplacement qui transforme le point d'origine A en son extrémité B. Il possède trois caractéristiques : 1. Une direction : la droite (AB) ou toute droite parallèle à (AB). 2. Un sens : de l'origine A vers l'extrémité B (indiqué par la flèche). 3. Une norme (longueur) : la distance AB, notée \|AB\| = AB. 2. Égalité vectorielle et parallélogramme Deux vecteurs sont égaux s'ils ont exactement la même direction, le même sens et la même longueur. Dans ce cas, les déplacements correspondants sont identiques. Propriété fondamentale : pour quatre points non alignés A, B, C, D : AB = CD ABDC\ est un parallélogramme Attention à l'ordre des sommets : l'extrémité du premier segment rejoint l'extrémité du second. Cas particuliers : le vecteur nul AA = 0 a une norme nulle et aucune direction. Le vecteur opposé de AB est le vecteur BA = -AB (même direction, même longueur, mais sens inverse). 3. Erreur fréquente Ne jamais confondre direction et sens. La direction est la droite support (par exemple la droite horizontale), tandis que le sens indique l'orientation le long de cette droite (vers la droite ou vers la gauche). Deux vecteurs opposés ont la même direction mais des sens contraires.

Dans ce chapitre

• Translations et rotations du plan de 4ème
• Symétries axiale et centrale appliquées aux polygones usuels de 5ème
• Carré d’un nombre, racine carrée et calcul d’aire de 4ème
• Définition de l'homothétie : centre O et rapport k (agrandissement et réduction orientés)
• Homothétie de rapport positif (k > 0) : points du même côté du centre
• Homothétie de rapport négatif (k < 0) : demi-tour et centre entre les deux
• Effet d'une homothétie sur les longueurs (|k|), les aires (k^2) et conservation des angles
• Synthèse comparative des 5 transformations du collège : symétries, translation, rotation, homothétie
• Translation et vecteur : direction, sens, norme et égalité vectorielle — 3ème
• Somme de vecteurs, règle du parallélogramme et relation de Chasles — 3ème
• Homothétie et théorème de Thalès : configurations emboîtée et papillon
• Image d’une droite, d’un segment et d’un cercle par une homothétie
• Déterminer le centre et le rapport d’une homothétie à partir d’une figure ou d’un quadrillage
• Bilan : Synthèse et méthode sur les homothéties du plan