Homothétie de rapport positif (k > 0) : points du même côté du centre

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• k > 0 : M' est sur la demi-droite [OM), avec OM' = k OM. • k > 1 : M est entre O et M' (agrandissement) ; 0 < k < 1 : M' est entre O et M (réduction). • Centre à l'origine d'une droite graduée : x' = k x. • Configuration emboîtée : OA'/OA = OB'/OB = A'B'/AB = k.

Le cours

Rapport positif Lorsque k > 0, le point M et son image M' sont du même côté du centre O : M' est sur la demi-droite [OM), à la distance OM' = k OM. La figure image garde la même orientation que la figure de départ : elle n'est ni retournée ni tournée. 1. Trois cas selon la valeur de k k > 1 : agrandissement. M' est au-delà de M : le point M est entre O et M', et MM' = (k - 1) OM. 0 réduction. M' est entre O et M, et MM' = (1 - k) OM. k = 1 : chaque point est sa propre image ; la figure ne bouge pas. Par exemple, pour OM = 4\ cm, le rapport 1,5 place M' à 6\ cm de O, soit 2\ cm au-delà de M ; le rapport 0,25 le place à 1\ cm de O, entre O et M. 2. Sur une droite graduée Si le centre est l'origine d'une droite graduée, l'abscisse de l'image vaut k fois l'abscisse du point : x' = k x. Avec k > 0, le signe ne change pas : un point d'abscisse négative a une image d'abscisse négative. Si le centre n'est pas l'origine, on raisonne sur l'écart au centre : l'image est k fois plus loin du centre que le point, du même côté. 3. Lien avec le théorème de Thalès Si A' et B' sont les images de A et B par l'homothétie de centre O et de rapport k > 0, alors (A'B') est parallèle à (AB) et les triangles OAB et OA'B' forment une configuration de Thalès emboîtée : OA'/OA = OB'/OB = A'B'/AB = k Réciproquement, dans une configuration emboîtée où (A'B') est parallèle à (AB), le triangle OA'B' est l'image du triangle OAB par l'homothétie de centre O et de rapport OA'/OA. 4. Méthode : déterminer un rapport positif 1. Vérifier que chaque point et son image sont du même côté du centre : le rapport est positif. 2. Calculer k = OM'/OM avec des distances mesurées depuis O, ou A'B'/AB avec deux longueurs correspondantes. 3. Comparer à 1 : plus grand, c'est un agrandissement ; plus petit, une réduction. Attention Une réduction de rapport positif ne fait pas passer le point de l'autre côté du centre : pour k = 0,5, l'image de M est le milieu du segment [OM], et non un point situé derrière O.

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