Synthèse comparative des 5 transformations du collège : symétries, translation, rotation, homothétie

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Symétrie axiale : un axe ; la figure est retournée comme dans un miroir. • Symétrie centrale : un centre ; translation : un point et son image ; rotation : un centre, un angle et un sens. • Homothétie : un centre et un rapport k ; la seule qui change les longueurs (si |k| 1). • Frise : translation ; rosace de n motifs : rotation d'angle 360^/n.

Le cours

Cinq transformations à reconnaître Au collège, tu as rencontré la symétrie axiale (6ème), la symétrie centrale (5ème), la translation et la rotation (4ème), puis l'homothétie (3ème). Face à une figure et à son image, il faut savoir nommer la transformation et la décrire complètement, avec ses éléments caractéristiques. 1. Carte d'identité de chaque transformation TransformationCe qu'il faut donnerEffet sur la figure Symétrie axialeun axeretournée comme dans un miroir ; les points de l'axe sont fixes Symétrie centraleun centredemi-tour autour du centre, seul point fixe Translationun point et son image (direction, sens, longueur)glissement ; aucun point fixe Rotationun centre, un angle, un senspivotement autour du centre, seul point fixe Homothétieun centre et un rapport kagrandie ou réduite si |k| 1, tête-bêche si k Les quatre premières conservent les longueurs et les aires : la figure image est superposable à la figure de départ. Les cinq conservent les angles, le parallélisme et l'alignement ; l'homothétie est la seule qui change les longueurs, en les multipliant par |k|. 2. Méthode : identifier une transformation 1. La taille a-t-elle changé ? Si oui, c'est une homothétie : le centre est l'intersection des droites qui joignent chaque point à son image, le rapport vaut 'B'/AB selon la position du centre. 2. La figure est-elle retournée comme dans un miroir ? Si oui, c'est une symétrie axiale ; l'axe est la médiatrice de [AA']. 3. Tous les points ont-ils subi le même déplacement ? Si les segments [AA'], [BB'], … sont parallèles, de même longueur et de même sens, c'est une translation. 4. Sinon, la figure a pivoté : c'est une rotation, dont le centre est à égale distance de A et de A', de B et de B'. Si ce centre est le milieu de chaque segment [AA'], c'est un demi-tour : la symétrie centrale. 3. Frises, pavages et rosaces Frise : un motif répété le long d'une bande ; on passe d'un motif au suivant par une translation, parfois combinée à une symétrie. Pavage : des pièces qui recouvrent le plan sans trou ni chevauchement ; on passe d'une pièce à une autre par translation, rotation ou symétrie, selon le motif. Rosace : n motifs identiques répartis régulièrement autour d'un centre O ; on passe d'un motif au suivant par la rotation de centre O et d'angle 360^/n. Si une pièce est plus grande ou plus petite qu'une autre de même forme, seule une homothétie, éventuellement enchaînée avec une autre transformation, peut l'expliquer. Attention « Elle a tourné » ou « elle a glissé » ne suffit pas : pour décrire une transformation, il faut donner tous ses éléments. On écrit par exemple « la rotation de centre O et d'angle 90^ dans le sens antihoraire » ou « l'homothétie de centre O et de rapport -2 ».

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