Homothétie et théorème de Thalès : configurations emboîtée et papillon

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Une homothétie conserve le parallélisme et crée les configurations du théorème de Thalès. • Pour k > 0, la configuration de Thalès est emboîtée et le rapport vaut k. • Pour k < 0, la configuration de Thalès est en papillon et le rapport géométrique des longueurs vaut |k| = -k.

Le cours

1. L'homothétie comme moteur du théorème de Thalès L'homothétie de centre O et de rapport k transforme toute droite (AB) ne passant pas par O en une droite parallèle (A'B'). Les points O, A, A' sont alignés, ainsi que les points O, B, B'. Cette disposition géométrique correspond exactement aux deux configurations fondamentales du théorème de Thalès où les droites (AB) et (A'B') sont parallèles. 2. Configuration emboîtée (k > 0) et papillon (k Le signe du rapport k de l'homothétie détermine la configuration géométrique de Thalès : • Configuration emboîtée (k > 0) : A et A' sont situés du même côté du centre O sur la demi-droite [OA). Les triangles OAB et OA'B' sont emboîtés. On a : OA'/OA = OB'/OB = A'B'/AB = k • Configuration papillon (k OA'/OA = OB'/OB = A'B'/AB = |k| = -k 3. Erreur fréquente Attention à la distinction entre Thalès et homothétie : les rapports de longueurs dans le théorème de Thalès sont toujours des nombres strictement positifs, tandis que le rapport d'homothétie k peut être négatif. Si k = -2, les longueurs de Thalès sont multipliées par |-2| = 2.

Dans ce chapitre

• Translations et rotations du plan de 4ème
• Symétries axiale et centrale appliquées aux polygones usuels de 5ème
• Carré d’un nombre, racine carrée et calcul d’aire de 4ème
• Définition de l'homothétie : centre O et rapport k (agrandissement et réduction orientés)
• Homothétie de rapport positif (k > 0) : points du même côté du centre
• Homothétie de rapport négatif (k < 0) : demi-tour et centre entre les deux
• Effet d'une homothétie sur les longueurs (|k|), les aires (k^2) et conservation des angles
• Synthèse comparative des 5 transformations du collège : symétries, translation, rotation, homothétie
• Translation et vecteur : direction, sens, norme et égalité vectorielle — 3ème
• Somme de vecteurs, règle du parallélogramme et relation de Chasles — 3ème
• Homothétie et théorème de Thalès : configurations emboîtée et papillon
• Image d’une droite, d’un segment et d’un cercle par une homothétie
• Déterminer le centre et le rapport d’une homothétie à partir d’une figure ou d’un quadrillage
• Bilan : Synthèse et méthode sur les homothéties du plan