Homothétie de rapport négatif (k < 0) : demi-tour et centre entre les deux

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• k < 0 : O est entre M et M', et OM' = |k| OM = -k OM. • La figure image est tête-bêche (demi-tour autour de O). • Distance entre un point et son image : MM' = (1 + |k|) OM. • k = -1 : symétrie centrale de centre O ; la figure forme un papillon de Thalès.

Le cours

Rapport négatif Lorsque k entre le point M et son image M' : M' est sur la demi-droite opposée à [OM). La figure image est tête-bêche : en plus d'être agrandie ou réduite, elle a fait un demi-tour autour de O. 1. Les distances restent positives Le signe de k indique seulement le côté. La distance au centre se calcule avec |k|, qui vaut ici -k : OM' = |k| OM = -k OM Pour k = -2 et OM = 3\ cm : OM' = 2 3 = 6\ cm, de l'autre côté de O. Comme O est entre M et M', la distance entre le point et son image vaut MM' = OM + OM' = (1 + |k|) OM, soit ici 9\ cm. 2. Agrandissement, réduction ou symétrie k -1 k = -1 : OM' = OM et O est le milieu de [MM'] ; c'est la symétrie centrale de centre O, c'est-à-dire la rotation de 180^. Sur une droite graduée dont l'origine est le centre, on a encore x' = k x : l'abscisse change de signe, l'image passe de l'autre côté de l'origine. Exemple : un triangle et son image pour k = -0,5 OABCA'B'C'k = −0,5 Les droites (AA'), (BB') et (CC') se croisent en O ; chaque image est deux fois plus proche de O que son point, de l'autre côté. On reconnaît la configuration de Thalès en papillon : (A'B') est parallèle à (AB) et OA'/OA = OB'/OB = A'B'/AB = 0,5 = |k|. 3. Méthode : construire l'image avec k 1. Tracer la droite (OM) et la prolonger au-delà de O. 2. Calculer OM' = |k| OM. 3. Reporter cette longueur à partir de O, du côté opposé à M. 4. Pour une figure, recommencer pour chaque sommet : la figure obtenue doit apparaître tête-bêche. Attention Une distance n'est jamais négative : avec k = -3 et OM = 2\ cm, on n'écrit pas OM' = -6\ cm mais OM' = 6\ cm, de l'autre côté de O. Inversement, quand on lit le rapport sur une figure, il ne faut pas oublier le signe : si O est entre A et A', le rapport est négatif.

Dans ce chapitre

• Translations et rotations du plan de 4ème
• Symétries axiale et centrale appliquées aux polygones usuels de 5ème
• Carré d’un nombre, racine carrée et calcul d’aire de 4ème
• Définition de l'homothétie : centre O et rapport k (agrandissement et réduction orientés)
• Homothétie de rapport positif (k > 0) : points du même côté du centre
• Homothétie de rapport négatif (k < 0) : demi-tour et centre entre les deux
• Effet d'une homothétie sur les longueurs (|k|), les aires (k^2) et conservation des angles
• Synthèse comparative des 5 transformations du collège : symétries, translation, rotation, homothétie
• Translation et vecteur : direction, sens, norme et égalité vectorielle — 3ème
• Somme de vecteurs, règle du parallélogramme et relation de Chasles — 3ème
• Homothétie et théorème de Thalès : configurations emboîtée et papillon
• Image d’une droite, d’un segment et d’un cercle par une homothétie
• Déterminer le centre et le rapport d’une homothétie à partir d’une figure ou d’un quadrillage
• Bilan : Synthèse et méthode sur les homothéties du plan