Effet d'une homothétie sur les longueurs (|k|), les aires (k^2) et conservation des angles

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Longueurs et périmètres : multipliés par |k|. • Aires : multipliées par k^2, toujours positif. • Volumes d'un solide agrandi ou réduit : multipliés par |k|^3. • Angles, parallélisme, alignement et milieux : conservés.

Le cours

Ce que change une homothétie Une homothétie de rapport k change la taille d'une figure mais pas sa forme. Les longueurs, les aires et les volumes ne sont pas multipliés par le même nombre : tout dépend du nombre de dimensions de la grandeur mesurée. 1. Les règles GrandeurMultipliée parExemple : k = -3 Longueur, périmètre, rayon|k| 3 Airek^2 9 Volume d'un solide agrandi ou réduit|k|^3 27 Angleinchangémême mesure Pourquoi k^2 ? Un rectangle de dimensions L et devient un rectangle de dimensions |k|L et |k|, d'aire |k|L |k| = k^2 L. Pour un pavé, les trois dimensions sont multipliées par |k|, d'où le facteur |k|^3 sur le volume. Comme k^2 est un carré, il est toujours positif, même si k est négatif. 2. Ce qui est conservé Les mesures d'angles : l'image d'un triangle rectangle est un triangle rectangle, l'image d'un carré est un carré. Le parallélisme et la perpendicularité, l'alignement des points et les milieux. Les quotients de longueurs : la figure image a les mêmes proportions que la figure de départ. 3. Méthode Calcul direct : repérer le type de grandeur (longueur, aire ou volume), calculer le coefficient |k|, k^2 ou |k|^3, puis multiplier. Calcul inverse : pour revenir de l'image à la figure de départ, diviser par ce coefficient. Retrouver le rapport : à partir de deux aires, |k| = A'A ; à partir de deux volumes, chercher le nombre dont le cube vaut le quotient (8 = 2^3, 27 = 3^3, 64 = 4^3). Le signe de k se lit sur la figure, jamais sur les aires. Exemple : une maquette au 1/50 d'un volume de 40\ cm^3 représente un objet réel de 40 50^3 = 5\,000\,000\ cm^3, soit 5\ m^3. Attention L'aire ne suit pas les longueurs : si les longueurs sont doublées, l'aire est multipliée par 4 et le volume par 8. Et un rapport négatif ne rend jamais une aire négative : pour k = -2, l'aire est multipliée par (-2)^2 = 4.

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