Somme de vecteurs, règle du parallélogramme et relation de Chasles — 3ème

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Relation de Chasles : pour tous points A, B, C, on a AB + BC = AC. • Règle du parallélogramme : si AB + AC = AD, alors ABDC est un parallélogramme. • Attention à l'inégalité triangulaire : la norme d'une somme n'est pas la somme des normes.

Le cours

1. Relation de Chasles La somme de deux vecteurs correspond à l'enchaînement de deux translations successives. La relation de Chasles permet d'additionner deux vecteurs lorsque l'extrémité du premier est l'origine du second : Pour tous points A, B et C du plan : AB + BC = AC Le point intermédiaire B s'efface pour donner le trajet direct de A à C. 2. Règle du parallélogramme Lorsque deux vecteurs ont la même origine A, on utilise la règle du parallélogramme pour construire leur somme : Si u = AB et v = AC, on construit le point D tel que ABDC soit un parallélogramme. Alors : AB + AC = AD. La somme est représentée par la diagonale issue de l'origine commune A. Propriétés du calcul vectoriel : la somme est commutative (u + v = v + u) et l'élément neutre est le vecteur nul (u + 0 = u). 3. Erreur fréquente Ne pas additionner les longueurs comme des nombres ordinaires : \|u + v\| \|u\| + \|v\|. L'égalité des longueurs AC = AB + BC n'a lieu que si les points A, B et C sont alignés dans cet ordre (inégalité triangulaire).

Dans ce chapitre

• Translations et rotations du plan de 4ème
• Symétries axiale et centrale appliquées aux polygones usuels de 5ème
• Carré d’un nombre, racine carrée et calcul d’aire de 4ème
• Définition de l'homothétie : centre O et rapport k (agrandissement et réduction orientés)
• Homothétie de rapport positif (k > 0) : points du même côté du centre
• Homothétie de rapport négatif (k < 0) : demi-tour et centre entre les deux
• Effet d'une homothétie sur les longueurs (|k|), les aires (k^2) et conservation des angles
• Synthèse comparative des 5 transformations du collège : symétries, translation, rotation, homothétie
• Translation et vecteur : direction, sens, norme et égalité vectorielle — 3ème
• Somme de vecteurs, règle du parallélogramme et relation de Chasles — 3ème
• Homothétie et théorème de Thalès : configurations emboîtée et papillon
• Image d’une droite, d’un segment et d’un cercle par une homothétie
• Déterminer le centre et le rapport d’une homothétie à partir d’une figure ou d’un quadrillage
• Bilan : Synthèse et méthode sur les homothéties du plan