Déterminer le centre et le rapport d’une homothétie à partir d’une figure ou d’un quadrillage

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Le centre O est le point d'intersection des droites reliant les points homologues : (AA') (BB'). • La valeur absolue |k| = distance imagedistance initiale. • Signe : k > 0 si les points sont du même côté de O ; k < 0 si O est situé entre le point et son image.

Le cours

1. Retrouver le centre d'une homothétie Pour déterminer géométriquement le centre d'une homothétie reliant une figure initiale à sa figure image : 1. On repère au moins deux paires de sommets correspondants (homologues) : (A, A') et (B, B'). 2. On trace les droites (AA') et (BB'). 3. Le centre O de l'homothétie est l'unique point d'intersection de ces droites : O = (AA') (BB'). Toutes les droites reliant un point à son image sont concourantes en O. 2. Déterminer le rapport k et son signe Le rapport k se détermine en deux temps : • La valeur absolue |k| : on calcule le quotient d'une longueur de la figure image par la longueur correspondante de la figure initiale : |k| = longueur imagelongueur initiale = A'B'/AB = OA'/OA • Le signe de k : si A et A' sont du même côté par rapport au centre O, alors k > 0. Si le centre O se trouve entre A et A', la figure a fait un demi-tour et k 3. Erreur fréquente Ne jamais inverser le sens du rapport : le rapport est toujours imagedépart. Si une figure de côté 6 devient une figure de côté 2, le rapport est 2/6 = 1/3 (réduction) et non 3. De plus, ne pas oublier d'affecter le signe « - » si les figures sont tête-bêche.

Dans ce chapitre

• Translations et rotations du plan de 4ème
• Symétries axiale et centrale appliquées aux polygones usuels de 5ème
• Carré d’un nombre, racine carrée et calcul d’aire de 4ème
• Définition de l'homothétie : centre O et rapport k (agrandissement et réduction orientés)
• Homothétie de rapport positif (k > 0) : points du même côté du centre
• Homothétie de rapport négatif (k < 0) : demi-tour et centre entre les deux
• Effet d'une homothétie sur les longueurs (|k|), les aires (k^2) et conservation des angles
• Synthèse comparative des 5 transformations du collège : symétries, translation, rotation, homothétie
• Translation et vecteur : direction, sens, norme et égalité vectorielle — 3ème
• Somme de vecteurs, règle du parallélogramme et relation de Chasles — 3ème
• Homothétie et théorème de Thalès : configurations emboîtée et papillon
• Image d’une droite, d’un segment et d’un cercle par une homothétie
• Déterminer le centre et le rapport d’une homothétie à partir d’une figure ou d’un quadrillage
• Bilan : Synthèse et méthode sur les homothéties du plan