Image d’une droite, d’un segment et d’un cercle par une homothétie

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• L'image d'une droite (d) est une droite parallèle (d'). • L'image d'un segment [AB] est un segment parallèle [A'B'] avec A'B' = |k| AB. • L'image d'un cercle de centre I et rayon R est un cercle de centre I' et rayon R' = |k| R.

Le cours

1. Image d'une droite et d'un segment Une homothétie de centre O et de rapport k non nul transforme les éléments géométriques selon des propriétés fondamentales de parallélisme et de proportionnalité : • Droite : l'image d'une droite (d) ne passant pas par O est une droite (d') strictement parallèle à (d). Si la droite passe par le centre O, elle est sa propre image (d' = d). • Segment : l'image d'un segment [AB] est un segment [A'B'] parallèle à [AB], de longueur A'B' = |k| AB. Le milieu de [AB] a pour image le milieu de [A'B']. 2. Image d'un cercle Pour construire l'image d'un cercle C de centre I et de rayon R par une homothétie de centre O et de rapport k : 1. On construit le centre image I', qui est l'image du point I par l'homothétie (O, I, I' alignés avec OI' = |k| OI). 2. Le rayon du cercle image C' est R' = |k| R. 3. Le cercle image C' a pour centre I' et pour rayon R'. 3. Erreur fréquente Attention à ne pas placer le centre du cercle image au centre de l'homothétie : I' O en général. Le centre O sert uniquement de point de fuite pour projeter le centre initial I. De plus, le nouveau rayon R' est toujours positif, même si k est négatif (R' = |k| R).

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