Définition de l'homothétie : centre O et rapport k (agrandissement et réduction orientés)

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Homothétie de centre O et de rapport k 0 : O, M, M' alignés et OM' = |k| OM. • k > 0 : M' sur [OM) ; k 1 : agrandissement ; |k| < 1 : réduction. • Le centre est sa propre image, et toutes les droites (MM') passent par O.

Le cours

L'idée L'ombre d'une figure projetée par une lampe sur un mur parallèle, un zoom d'appareil photo, une photocopie agrandie : la figure obtenue a la même forme mais une autre taille, et tout part d'un même point. L'homothétie est la transformation qui décrit ces agrandissements et ces réductions à partir d'un point fixe. 1. Définition Soit O un point et k un nombre non nul. L'homothétie de centre O et de rapport k transforme chaque point M en un point M' tel que : les points O, M et M' sont alignés ; la distance au centre est multipliée par |k|, la valeur de k sans son signe ; si k > 0, M' est sur la demi-droite [OM) ; si k OM' = |k| OM L'image du centre est le centre lui-même ; pour k 1, c'est le seul point qui ne bouge pas. Une figure et son image sont dites homothétiques. 2. Agrandissement ou réduction ? |k| > 1 : l'image est un agrandissement de la figure (par exemple k = 3 ou k = -2). |k| réduction (par exemple k = 0,5 ou k = -1/3). k = 1 : chaque point reste à sa place ; k = -1 : c'est la symétrie centrale de centre O. Le signe de k donne le côté : du même côté du centre si k > 0, de l'autre côté, figure retournée, si k Exemple : un triangle et son image pour k = 2 OABCA'B'C'k = 2 Chaque sommet image est sur la demi-droite issue de O qui passe par le sommet, deux fois plus loin : OA' = 2 OA, OB' = 2 OB et OC' = 2 OC. Les côtés de A'B'C' sont parallèles à ceux de ABC et deux fois plus longs. 3. Méthode : construire l'image d'une figure 1. Pour chaque sommet A, tracer la droite (OA). 2. Mesurer OA, puis calculer OA' = |k| OA. 3. Reporter cette longueur à partir de O : du côté de A si k > 0, de l'autre côté si k 4. Relier les images dans le même ordre que les sommets de départ, puis vérifier que chaque côté image est parallèle au côté correspondant. 4. Retrouver le centre et le rapport Le centre est le point où se coupent toutes les droites (AA'), (BB'), (CC') qui joignent un point à son image. La valeur de |k| est le quotient OA'/OA, ou celui de deux longueurs correspondantes A'B'/AB ; le signe se lit sur la figure (même côté de O ou non). Attention Les distances se mesurent toujours à partir du centre : pour k = 3 et OA = 2\ cm, on place A' à 6\ cm de O, et non à 6\ cm de A. Le rapport n'est jamais nul, et c'est un quotient, pas une différence.

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