Bilan : Synthèse et méthode sur les homothéties du plan

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Une homothétie se décrit toujours par son centre et son rapport, signe compris. • |k| = OA'/OA = A'B'/AB ; k est positif si A et A' sont du même côté de O, négatif sinon. • Longueurs |k|, aires k^2, volumes |k|^3, angles inchangés. • Emboîtement (k > 0) ou papillon (k < 0) : ce sont des configurations de Thalès.

Le cours

Bilan du chapitre Ce bilan rassemble les savoir-faire du chapitre : construire l'image d'une figure, lire le centre et le rapport d'une homothétie, calculer des longueurs, des aires et des volumes, et reconnaître une homothétie parmi les transformations du collège. Les exercices de brevet mêlent souvent ces étapes au théorème de Thalès et au théorème de Pythagore. 1. L'essentiel Définition : centre O, rapport k 0 ; O, M, M' alignés et OM' = |k| OM. Position : si k > 0, même côté de O ; si k Taille : agrandissement si |k| > 1, réduction si |k| Mesures : longueurs |k|, aires k^2, volumes |k|^3 ; angles, parallélisme et alignement conservés. Thalès : configuration emboîtée pour k > 0, papillon pour k 2. Méthode : traiter un exercice sur les homothéties 1. Repérer le centre : c'est le point commun aux droites qui joignent chaque point à son image. 2. Trouver le rapport : sa valeur absolue par un quotient de longueurs correspondantes (distances depuis O ou côtés), son signe par la position des points (même côté de O ou de part et d'autre). 3. Calculer : multiplier par |k|, k^2 ou |k|^3 selon la grandeur ; pour remonter de l'image à la figure de départ, diviser. 4. Rédiger et contrôler : nommer la transformation complète (« l'homothétie de centre O et de rapport -1/2 ») et vérifier que les résultats grandissent si |k| > 1 et diminuent si |k| Les erreurs qui coûtent des points Calculer le rapport par une différence (OA' - OA) au lieu d'un quotient. Mesurer une distance depuis un sommet au lieu du centre. Oublier le signe du rapport, ou au contraire écrire une longueur négative. Multiplier une aire par k au lieu de k^2, ou un volume par k^2 au lieu de |k|^3.

Dans ce chapitre

• Translations et rotations du plan de 4ème
• Symétries axiale et centrale appliquées aux polygones usuels de 5ème
• Carré d’un nombre, racine carrée et calcul d’aire de 4ème
• Définition de l'homothétie : centre O et rapport k (agrandissement et réduction orientés)
• Homothétie de rapport positif (k > 0) : points du même côté du centre
• Homothétie de rapport négatif (k < 0) : demi-tour et centre entre les deux
• Effet d'une homothétie sur les longueurs (|k|), les aires (k^2) et conservation des angles
• Synthèse comparative des 5 transformations du collège : symétries, translation, rotation, homothétie
• Translation et vecteur : direction, sens, norme et égalité vectorielle — 3ème
• Somme de vecteurs, règle du parallélogramme et relation de Chasles — 3ème
• Homothétie et théorème de Thalès : configurations emboîtée et papillon
• Image d’une droite, d’un segment et d’un cercle par une homothétie
• Déterminer le centre et le rapport d’une homothétie à partir d’une figure ou d’un quadrillage
• Bilan : Synthèse et méthode sur les homothéties du plan