Solides composites avec demi-boules : gélule, silo et cornet de glace

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Volume d'une demi-boule de rayon R : V = 2/3 R^3. • Une gélule est la réunion d'un cylindre et de deux demi-boules (soit une boule complète) : V = R^2 h + 4/3 R^3. • Surface externe : ne jamais compter les surfaces de contact intérieures.

Le cours

1. Volume d'une demi-boule Une demi-boule est obtenue en coupant une boule de rayon R en deux parties égales par un plan passant par son centre. Son volume est exactement la moitié de celui de la boule : V_demi-boule = 1/2 (4/3 R^3) = 2/3 R^3 Son aire extérieure courbe (sans le disque de base) vaut A_dôme = 2 R^2. 2. Assemblage de solides usuels De nombreux objets du quotidien sont modélisés par l'assemblage d'un solide droit et d'une ou deux demi-boules de même rayon R : • Silo à grains ou cuve : un cylindre de hauteur h surmonté d'une demi-boule : V = R^2 h + 2/3 R^3 • Gélule pharmaceutique : un cylindre de hauteur h encadré par deux demi-boules à chaque extrémité. Les deux demi-boules se regroupent pour reformer une boule entière : V_gélule = R^2 h + 4/3 R^3 • Cornet de glace : un cône de hauteur h surmonté d'une demi-boule : V = 1/3 R^2 h + 2/3 R^3. 3. Erreur fréquente Pour calculer l'aire totale extérieure d'un solide composite, ne jamais additionner les aires totales des solides isolés ! Les disques de contact situés à l'intérieur de l'objet ne font plus partie de la surface externe. Pour un silo fermé, on additionne le disque du fond, la surface latérale du cylindre (2 R h) et le dôme sphérique (2 R^2).

Dans ce chapitre

• Prismes, cylindres, pyramides et cônes de 4ème
• Cercle, disque, aire et périmètre de 5ème
• Unités de volume et de contenance : conversions entre mètres cubes et litres de 5ème
• Définition de la sphère (surface) et de la boule (solide plein) de rayon R
• Aire d'une sphère : formule A = 4 R^2
• Volume d'une boule : formule V = 4/3 R^3
• Section d'une sphère par un plan : cercle de section et relation r = R^2 - d^2
• Repérage sur la Terre : latitude, longitude, équateur et méridien de Greenwich
• Solides composites avec demi-boules : gélule, silo et cornet de glace
• Agrandissement et réduction appliqués à la sphère et à la boule (rapports k, k² et k³)
• Boule inscrite dans un cube ou dans un cylindre et comparaison de volumes
• Volume déplacé et immersion d’une boule dans un cylindre gradué
• Calcul de distances sur la Terre le long d’un méridien ou de l’équateur
• Bilan : Synthèse et méthode sur la sphère, la boule et le repérage spatial