Agrandissement et réduction appliqués à la sphère et à la boule (rapports k, k² et k³)

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Longueurs et rayons multipliés par k. • Aires et surfaces de la sphère multipliées par k^2. • Volumes de la boule et masses multipliés par k^3. • Si le rayon double (k = 2), l'aire est quadruplée (2^2 = 4) et le volume est octuplé (2^3 = 8).

Le cours

1. Rapport d'agrandissement ou de réduction k Lors d'un agrandissement ou d'une réduction de rapport k > 0, toutes les dimensions linéaires (longueurs, rayons, périmètres) sont multipliées par k : Nouveau rayon : R' = k R Si k > 1, il s'agit d'un agrandissement ; si 0 2. Effet sur l'aire de la sphère et le volume de la boule Les formules de la sphère et de la boule mettent en évidence des puissances du rayon, ce qui entraîne des facteurs d'échelle spécifiques : • L'aire d'une sphère est proportionnelle au carré du rayon (A = 4 R^2). Par conséquent, l'aire est multipliée par k^2 : A' = 4 (kR)^2 = k^2 (4 R^2) = k^2 A • Le volume d'une boule est proportionnel au cube du rayon (V = 4/3 R^3). Par conséquent, le volume est multiplié par k^3 : V' = 4/3 (kR)^3 = k^3 (4/3 R^3) = k^3 V 3. Erreur fréquente L'erreur la plus commune est de croire que si le rayon est multiplié par 2, le volume double aussi. En réalité, le volume est multiplié par 2^3 = 8 ! De même, si le volume d'une boule est multiplié par 27, le rayon n'est pas divisé ou multiplié par 27, mais par [3]27 = 3.

Dans ce chapitre

• Prismes, cylindres, pyramides et cônes de 4ème
• Cercle, disque, aire et périmètre de 5ème
• Unités de volume et de contenance : conversions entre mètres cubes et litres de 5ème
• Définition de la sphère (surface) et de la boule (solide plein) de rayon R
• Aire d'une sphère : formule A = 4 R^2
• Volume d'une boule : formule V = 4/3 R^3
• Section d'une sphère par un plan : cercle de section et relation r = R^2 - d^2
• Repérage sur la Terre : latitude, longitude, équateur et méridien de Greenwich
• Solides composites avec demi-boules : gélule, silo et cornet de glace
• Agrandissement et réduction appliqués à la sphère et à la boule (rapports k, k² et k³)
• Boule inscrite dans un cube ou dans un cylindre et comparaison de volumes
• Volume déplacé et immersion d’une boule dans un cylindre gradué
• Calcul de distances sur la Terre le long d’un méridien ou de l’équateur
• Bilan : Synthèse et méthode sur la sphère, la boule et le repérage spatial